Planche de Galton

La planche de Galton , également connue sous le nom de boîte de Galton ou quinconce ou machine à haricots , est un dispositif inventé par Francis Galton pour démontrer le théorème central limite , en particulier qu'avec une taille d'échantillon suffisante, la distribution binomiale se rapproche d'une distribution normale . Parmi ses applications, elle a permis de comprendre la régression vers la moyenne ou le « retour à la médiocrité ».

Le plateau de Galton est constitué d'une planche verticale avec des rangées de chevilles entrelacées. Les billes sont déposées du haut et, lorsque l'appareil est à niveau, elles rebondissent vers la gauche ou vers la droite lorsqu'elles touchent les chevilles. Elles sont finalement collectées dans des bacs en bas, où la hauteur des colonnes de billes accumulées dans les bacs se rapproche d'une courbe en cloche . La superposition du triangle de Pascal sur les broches montre le nombre de chemins différents qui peuvent être empruntés pour atteindre chaque bac.

Des modèles à grande échelle de cet appareil créé par Charles et Ray Eames peuvent être vus dans les expositions Mathematica: A World of Numbers... and Beyond, visibles en permanence au Boston Museum of Science , au New York Hall of Science ou au Henry Ford Museum . La machine du Ford Museum a été exposée au pavillon IBM lors de l'Exposition universelle de New York de 1964-65 , puis au Pacific Science Center de Seattle. Une autre version à grande échelle est exposée dans le hall d' Index Fund Advisors à Irvine, en Californie .

Des tableaux peuvent être construits pour d'autres distributions en changeant la forme des broches ou en les orientant vers une direction, et même des tableaux bimodaux sont possibles. Un tableau pour la distribution log-normale (commune dans de nombreux processus naturels , en particulier biologiques), qui utilise des triangles isocèles de largeurs variables pour « multiplier » la distance parcourue par la perle au lieu d'étapes de tailles fixes qui « additionneraient », a été construit par Jacobus Kapteyn alors qu'il étudiait et vulgarisait les statistiques de la distribution log-normale afin d'aider à la visualiser et à démontrer sa plausibilité. En 1963, il était conservé à l' Université de Groningue . Il existe également une machine log-normale améliorée qui utilise des triangles obliques dont les côtés droits sont plus longs, évitant ainsi de décaler la médiane des perles vers la gauche.

Si une bille rebondit k fois vers la droite sur son chemin vers le bas (et vers la gauche sur les piquets restants), elle finit dans le k -ième bac en comptant à partir de la gauche. En désignant le nombre de rangées de piquets dans une planche de Galton par n , le nombre de chemins vers le k -ième bac du bas est donné par le coefficient binomial . Notez que le bac le plus à gauche est le 0 -bin, à côté se trouve le 1 -bin, etc. et le plus à droite est le n -bin-, ce qui fait que le nombre total de bacs est égal à n+1 (chaque rangée n'a pas besoin d'avoir plus de piquets que le nombre qui identifie la rangée elle-même, par exemple la première rangée a 1 piquet, la seconde 2 piquets, jusqu'à la n -ième rangée qui a n piquets qui correspondent aux n+1 bacs). Si la probabilité de rebondir directement sur un piquet est p (ce qui équivaut à 0,5 sur une machine à niveau non biaisé), la probabilité que la boule finisse dans le k -ième bac est égale à . Il s'agit de la fonction de masse de probabilité d'une distribution binomiale . Le nombre de lignes correspond à la taille d'une distribution binomiale en nombre d'essais, tandis que la probabilité p de chaque quille est la p du binôme .

Selon le théorème central limite (plus précisément le théorème de Moivre-Laplace ), la distribution binomiale se rapproche de la distribution normale à condition que le nombre de lignes et le nombre de boules soient tous deux grands. La variation des lignes entraînera des écarts types ou des largeurs différentes de la courbe en forme de cloche ou de la distribution normale dans les compartiments.

Une autre interprétation plus précise du point de vue physique est donnée par l' entropie : puisque l'énergie transportée par chaque bille qui tombe est finie, de sorte que même sur n'importe quelle pointe, leurs collisions sont chaotiques parce que la dérivée est indéfinie (il n'y a aucun moyen de déterminer à l'avance de quel côté va tomber), la moyenne et la variance de chaque grain sont limitées à être finies (ils ne sortiront jamais de la boîte), et la forme gaussienne apparaît parce qu'il s'agit de la distribution de probabilité d'entropie maximale pour un processus continu avec une moyenne et une variance définies. L'apparition de la distribution normale pourrait être interprétée comme si toutes les informations possibles transportées par chaque grain concernant le chemin qu'il a parcouru ont déjà été complètement perdues lors de leurs collisions en descente.

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  Planche Galton (7,5 po x 4,5 po)
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  Avant et après le spin
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  Une réplique fonctionnelle de la machine (d'après une conception légèrement modifiée)

Francis Galton a écrit en 1889 son livre Natural Inheritance :

L'ordre dans le chaos apparent : Je ne connais rien de plus apte à impressionner l'imagination que la merveilleuse forme d'ordre cosmique exprimée par la loi de fréquence des erreurs. Cette loi aurait été personnifiée et déifiée par les Grecs s'ils l'avaient connue. Elle règne avec sérénité et dans un effacement complet au milieu de la confusion la plus sauvage. Plus la foule est nombreuse et plus l'anarchie apparente est grande, plus son règne est parfait. C'est la loi suprême de la déraison. Chaque fois qu'un grand échantillon d'éléments chaotiques est pris en main et classé dans l'ordre de leur grandeur, une forme de régularité insoupçonnée et des plus belles se révèle avoir été latente depuis toujours.

Plusieurs jeux ont été développés en utilisant l'idée de quilles changeant la trajectoire des balles ou d'autres objets :

• Bagatelle
• Pachinko
• Payazzo
• Peggle
• Flipper
• Plinko
• Le mur