Théorème de Belyi

En mathématiques , le théorème de Belyi sur les courbes algébriques énonce que toute courbe algébrique non singulière C , définie par des coefficients de nombres algébriques , représente une surface de Riemann compacte qui est un revêtement ramifié de la sphère de Riemann , ramifiée en trois points seulement.

Il s'agit d'un résultat de GV Belyi de 1979. À l'époque, cela avait été considéré comme surprenant et cela a incité Grothendieck à développer sa théorie des dessins d'enfant , qui décrit des courbes algébriques non singulières sur les nombres algébriques en utilisant des données combinatoires.

Il s'ensuit que la surface de Riemann en question peut être considérée comme le quotient

H /Γ

(où H est le demi-plan supérieur et Γ est un sous-groupe d' indice fini dans le groupe modulaire ) compactifié par des points de rebroussement . Étant donné que le groupe modulaire a des sous-groupes de non-congruence , on ne peut pas en conclure qu'une telle courbe est une courbe modulaire .

Une fonction de Belyi est une application holomorphe d'une surface de Riemann compacte S vers la droite projective complexe P ¹ ( C ) ramifiée seulement sur trois points, qui après une transformation de Möbius peut être prise pour . Les fonctions de Belyi peuvent être décrites combinatoirement par des dessins d'enfants .

Les fonctions de Belyi et les dessins d'enfants – mais pas le théorème de Belyi – remontent au moins aux travaux de Felix Klein ; il les a utilisés dans son article (Klein 1879) pour étudier un recouvrement par 11 de la droite projective complexe avec le groupe de monodromie PSL(2,11).

Le théorème de Belyi est un théorème d'existence pour les fonctions de Belyi et a ensuite été largement utilisé dans le problème de Galois inverse .