Matrice de blocs

En mathématiques , une matrice en blocs ou une matrice partitionnée est une matrice qui est interprétée comme ayant été divisée en sections appelées blocs ou sous-matrices .

Intuitivement, une matrice interprétée comme une matrice de blocs peut être visualisée comme la matrice d'origine avec une collection de lignes horizontales et verticales, qui la divisent, ou la partitionnent , en une collection de matrices plus petites. Par exemple, la matrice 3x4 présentée ci-dessous est divisée par des lignes horizontales et verticales en quatre blocs : le bloc 2x3 en haut à gauche, le bloc 2x1 en haut à droite, le bloc 1x3 en bas à gauche et le bloc 1x1 en bas à droite.

Toute matrice peut être interprétée comme une matrice de blocs d'une ou plusieurs manières, chaque interprétation étant définie par la manière dont ses lignes et ses colonnes sont partitionnées.

Cette notion peut être rendue plus précise pour une matrice par partitionnement en une collection , puis en partitionnant en une collection . La matrice d'origine est alors considérée comme le « total » de ces groupes, dans le sens où l' entrée de la matrice d'origine correspond de manière bijective à une entrée décalée de certains , où et .

L'algèbre matricielle par blocs naît en général de biproduits dans des catégories de matrices.

La matrice

peut être visualisé comme divisé en quatre blocs, comme

Les lignes horizontales et verticales n'ont pas de signification mathématique particulière, mais constituent un moyen courant de visualiser une partition. Par cette partition, est partitionné en quatre blocs 2×2, comme

La matrice partitionnée peut alors s'écrire comme

Soit . Un partitionnement de est une représentation de sous la forme

où sont des sous-matrices contiguës, , et . Les éléments de la partition sont appelés blocs .

Selon cette définition, les blocs d'une même colonne doivent tous avoir le même nombre de colonnes. De même, les blocs d'une même ligne doivent avoir le même nombre de lignes.

Une matrice peut être partitionnée de plusieurs manières. Par exemple, une matrice est dite partitionnée par colonnes si elle est écrite comme

où est la ième colonne de . Une matrice peut également être partitionnée par lignes :

où est la e rangée de .

Souvent, nous rencontrons la partition 2x2

particulièrement sous la forme où est un scalaire :

Laisser

où . (Cette matrice sera réutilisée dans § Addition et § Multiplication.) Sa transposée est alors

et la même équation est valable lorsque la transposée est remplacée par la transposée conjuguée.

Une forme spéciale de transposition de matrice peut également être définie pour les matrices de blocs, où les blocs individuels sont réorganisés mais pas transposés. Soit une matrice de blocs avec des blocs , la transposition de blocs de est la matrice de blocs avec des blocs . Comme avec l'opérateur de trace conventionnel, la transposition de blocs est une application linéaire telle que . Cependant, en général, la propriété n'est pas vérifiée à moins que les blocs de et commutent.

Laisser

où , et soit la matrice définie au § Transposée. (Cette matrice sera réutilisée au § Multiplication.) Alors si , , , et , alors

Il est possible d'utiliser un produit matriciel partitionné en blocs qui ne fait intervenir que l'algèbre sur les sous-matrices des facteurs. Le partitionnement des facteurs n'est cependant pas arbitraire et nécessite des « partitions conformes » entre deux matrices et telles que tous les produits matriciels qui seront utilisés soient définis.

On dit que deux matrices et sont partitionnées conformément pour le produit , lorsque et sont partitionnées en sous-matrices et si la multiplication est effectuée en traitant les sous-matrices comme si elles étaient des scalaires, mais en conservant l'ordre, et lorsque tous les produits et sommes des sous-matrices impliquées sont définis.

—  Arak M. Mathai et Hans J. Haubold, Algèbre linéaire : un cours pour physiciens et ingénieurs

Soit la matrice définie au § Transposée, et soit la matrice définie au § Addition. Alors le produit matriciel

peut être effectuée par blocs, donnant lieu à une matrice. Les matrices de la matrice résultante sont calculées en multipliant :

Ou, en utilisant la notation d'Einstein qui additionne implicitement les indices répétés :

En représentant comme une matrice, nous avons

Si une matrice est partitionnée en quatre blocs, elle peut être inversée par bloc comme suit :

où A et D sont des blocs carrés de taille arbitraire, et B et C sont conformes à eux pour le partitionnement. De plus, A et le complément de Schur de A dans P : P / A = D − CA ⁻¹ B doivent être inversibles.

De manière équivalente, en permutant les blocs :

Ici, D et le complément de Schur de D dans P : P / D = A − BD ⁻¹ C doivent être inversibles.

Si A et D sont tous deux inversibles, alors :

Selon l' identité de Weinstein-Aronszajn , l'une des deux matrices de la matrice diagonale par blocs est inversible exactement lorsque l'autre l'est.

La formule du déterminant d'une matrice ci-dessus reste valable, sous réserve d'hypothèses supplémentaires appropriées, pour une matrice composée de quatre sous-matrices . La formule la plus simple, qui peut être prouvée en utilisant soit la formule de Leibniz, soit une factorisation impliquant le complément de Schur , est

En utilisant cette formule, nous pouvons déduire que les polynômes caractéristiques de et sont identiques et égaux au produit des polynômes caractéristiques de et . De plus, si ou est diagonalisable , alors et sont également diagonalisables. La réciproque est fausse ; il suffit de vérifier .

Si est inversible , on a

et si est inversible, on a

Si les blocs sont des matrices carrées de même taille, d'autres formules sont valables. Par exemple, si et commutent (c'est-à-dire ), alors

Ceci est également vrai lorsque , ou ⁠ ⁠ . Cette formule a été généralisée aux matrices composées de plus de blocs, encore une fois sous des conditions de commutativité appropriées entre les blocs individuels.

Pour et , la formule suivante est valable (même si et ne commutent pas)

Pour toutes matrices arbitraires A (de taille m × n ) et B (de taille p × q ), nous avons la somme directe de A et B , notée A B et définie comme

Par exemple,

Cette opération se généralise naturellement aux tableaux de dimensions arbitraires (à condition que A et B aient le même nombre de dimensions).

Notez que tout élément de la somme directe de deux espaces vectoriels de matrices pourrait être représenté comme une somme directe de deux matrices.

Une matrice diagonale par blocs est une matrice par blocs qui est une matrice carrée telle que les blocs principaux de la diagonale sont des matrices carrées et que tous les blocs hors diagonale sont des matrices nulles. Autrement dit, une matrice diagonale par blocs A a la forme

où A _k est une matrice carrée pour tout k = 1, ..., n . En d'autres termes, la matrice A est la somme directe de A ₁ , ..., A _n . Elle peut aussi être indiquée par A ₁ ⊕ A ₂ ⊕ ... ⊕ A _n ou diag( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) (ce dernier étant le même formalisme utilisé pour une matrice diagonale ). Toute matrice carrée peut être trivialement considérée comme une matrice diagonale par blocs avec un seul bloc.

Pour le déterminant et la trace , les propriétés suivantes sont valables :

Une matrice diagonale par blocs est inversible si et seulement si chacun de ses blocs diagonaux principaux est inversible, et dans ce cas son inverse est une autre matrice diagonale par blocs donnée par

Les valeurs propres et les vecteurs propres de sont simplement ceux des s combinés.

Une matrice tridiagonale par blocs est une autre matrice par blocs spéciale, qui est comme la matrice diagonale par blocs une matrice carrée , ayant des matrices carrées (blocs) dans la diagonale inférieure, la diagonale principale et la diagonale supérieure, tous les autres blocs étant des matrices nulles. Il s'agit essentiellement d'une matrice tridiagonale mais qui possède des sous-matrices à la place des scalaires. Une matrice tridiagonale par blocs a la forme

où , et sont des sous-matrices carrées des diagonales inférieure, principale et supérieure respectivement.

Les matrices tridiagonales par blocs sont souvent rencontrées dans les solutions numériques de problèmes d'ingénierie (par exemple, la dynamique des fluides numérique ). Des méthodes numériques optimisées pour la factorisation LU sont disponibles et donc des algorithmes de résolution efficaces pour les systèmes d'équations avec une matrice tridiagonale par blocs comme matrice de coefficients. L' algorithme de Thomas , utilisé pour la résolution efficace de systèmes d'équations impliquant une matrice tridiagonale, peut également être appliqué en utilisant des opérations matricielles pour bloquer les matrices tridiagonales (voir aussi Décomposition LU par blocs ).

Une matrice est triangulaire supérieure en blocs (ou triangulaire supérieure en blocs ) si

où pour tous .

Une matrice est triangulaire inférieure si

où pour tous .

Une matrice Toeplitz en blocs est une autre matrice en blocs spéciale, qui contient des blocs répétés sur les diagonales de la matrice, car une matrice Toeplitz a des éléments répétés sur la diagonale.

Une matrice est un bloc Toeplitz si pour tout , c'est-à-dire,

où .

Une matrice est un bloc de Hankel si pour tout , c'est-à-dire,

où .