Approximation de Born

En théorie de la diffusion et en mécanique quantique en général , l' approximation de Born consiste à prendre le champ incident à la place du champ total comme champ moteur en chaque point du diffuseur. L'approximation de Born doit son nom à Max Born qui a proposé cette approximation aux premiers jours du développement de la théorie quantique.

C'est la méthode de perturbation appliquée à la diffusion par un corps étendu. Elle est précise si le champ diffusé est faible devant le champ incident sur le diffuseur.

Par exemple, la diffusion des ondes radio par une colonne de polystyrène légère peut être approximée en supposant que chaque partie du plastique est polarisée par le même champ électrique qui serait présent à ce point sans la colonne, puis en calculant la diffusion comme une intégrale de rayonnement sur cette distribution de polarisation.

Approximation de Born à l'équation de Lippmann-Schwinger

L' équation de Lippmann–Schwinger pour l'état de diffusion avec une impulsion p et des conditions aux limites sortantes (+) ou entrantes (−) est ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm)}} angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle , <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>G</mi> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <mi>je</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>)</mo> <mi>V</mi> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle +G ^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la fonction de Green de la particule libre , est une quantité infinitésimale positive et le potentiel d'interaction. est la solution de diffusion libre correspondante parfois appelée champ incident. Le facteur du côté droit est parfois appelé champ moteur . ${\displaystyle G^{\circ <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>G</mi> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G^{\circ }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \epsilon <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϵ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \epsilon }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm)}} angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans l'approximation de Born, l'équation ci-dessus est exprimée comme

{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle , <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>G</mi> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <mi>je</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>)</mo> <mi>V</mi> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle +G ^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

ce qui est beaucoup plus facile à résoudre puisque le membre de droite ne dépend plus de l'état inconnu . ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm)}} angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$

La solution obtenue est le point de départ de la série de Born .

Approximation de Born à l'amplitude de diffusion

En utilisant la fonction de Green libre sortante pour une particule avec une masse dans l'espace de coordonnées, ${\displaystyle m <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle G^{(+)}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {e^{+ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '| <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>+</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> <msup> <mi>ℏ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>+</mo> <mi>je</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G^{(+)}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {e^{+ik |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

on peut extraire l'approximation de Born à l' amplitude de diffusion à partir de l'approximation de Born à l'équation de Lippmann-Schwinger ci-dessus,

{\displaystyle f_{B}( heta )=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}re^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }V(\mathbf {r} )\;, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>ℏ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∫</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>l</mi> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{B}( heta )=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}re^{i\mathbf {q} \cdot \ mathbf {r} }V(\mathbf {r} )\;,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est l'angle entre le vecteur d'onde incident et le vecteur d'onde diffusé , est l'impulsion transférée. Dans le potentiel à symétrie centrale , l'amplitude de diffusion devient ${\displaystyle heta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {k} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {k} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {k} ' <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {k} '}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} '-\mathbf {k} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {q} = mathbf {k} '- mathbf {k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V=V(r) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V=V(r)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f_{B}( heta )=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\infty }rV(r){\frac {\sin qr}{q}}dr <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> <msup> <mi>ℏ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msubsup> <mi>l</mi> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mi>q</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{B}( heta )=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\infty }rV(r){\frac {\sin qr}{q}}dr}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où Dans l'approximation de Born pour un champ à symétrie centrale, l'amplitude de diffusion et donc la section efficace dépendent de l'impulsion et de l'amplitude de diffusion uniquement par la combinaison . ${\displaystyle q=|\mathbf {q} |=2k\sin( heta /2). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle q=|\mathbf {q} |=2k\sin( heta /2).}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sigma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p=k/\hbar <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p=k/\hbar }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p\sin( heta /2) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p\sin( heta /2)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Applications

L'approximation de Born est utilisée dans plusieurs contextes physiques différents.

En diffusion neutronique , l'approximation de Born du premier ordre est presque toujours adéquate, sauf pour les phénomènes optiques neutroniques comme la réflexion totale interne dans un guide de neutrons ou la diffusion aux petits angles à incidence rasante . En utilisant la première approximation de Born, il a été démontré que l'amplitude de diffusion pour un potentiel de diffusion est la même que la transformée de Fourier du potentiel de diffusion . En utilisant ce concept, l'analogue électronique de l'optique de Fourier a été étudié théoriquement dans le graphène monocouche. L'approximation de Born a également été utilisée pour calculer la conductivité dans le graphène bicouche et pour approximer la propagation des ondes de grande longueur d'onde dans les milieux élastiques . ${\displaystyle V(\mathbf {r} ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V(\mathbf {r} )}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les mêmes idées ont également été appliquées à l’étude des mouvements des ondes sismiques à travers la Terre.

Approximation de Born à ondes déformées

L'approximation de Born est la plus simple lorsque les ondes incidentes sont des ondes planes. Autrement dit, le diffuseur est traité comme une perturbation de l'espace libre ou d'un milieu homogène. ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans l' approximation de Born à ondes déformées ( DWBA ), les ondes incidentes sont des solutions à une partie du problème qui est traitée par une autre méthode, analytique ou numérique. L'interaction d'intérêt est traitée comme une perturbation d'un système qui peut être résolue par une autre méthode. Pour les réactions nucléaires, des ondes de modèle optique numérique sont utilisées. Pour la diffusion de particules chargées par des particules chargées, des solutions analytiques pour la diffusion de Coulomb sont utilisées. Cela donne l'équation préliminaire non-Born ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V=V^{1}+V^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V=V^{1}+V^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle +G^{\circ }(E_{p}\pm i0)V^{1}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>G</mi> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <mi>je</mi> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }} angle +G^{\circ }(E_{p}\pm i0)V^{1}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angement }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et l'approximation de Born

{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle +G^{1}(E_{p}\pm i0)V^{2}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle . <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>|</mo> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>⟩</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>G</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <mi>je</mi> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <msup> <mrow> <msubsup> <mi>Ψ</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>⟩</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}} angle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle +G^{1}(E_{p}\pm i0)V^{2}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )} angle .}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

D'autres applications incluent le rayonnement de freinage et l' effet photoélectrique . Pour une réaction nucléaire directe induite par des particules chargées, la procédure est utilisée deux fois. Il existe des méthodes similaires qui n'utilisent pas les approximations de Born. Dans la recherche sur la matière condensée, la DWBA est utilisée pour analyser la diffusion aux petits angles à incidence rasante .