Filtre elliptique

où R _n est la fonction rationnelle elliptique d'ordre n (parfois appelée fonction rationnelle de Tchebychev) et

{\displaystyle \omega _{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{0}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \epsilon <semantics><mrow><mstyle><mi>ϵ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \epsilon }</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \xi <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \xi }</annotation></semantics></math></span><img src=

La valeur du facteur d'ondulation spécifie l'ondulation de la bande passante, tandis que la combinaison du facteur d'ondulation et du facteur de sélectivité spécifie l'ondulation de la bande d'arrêt.

Propriétés

Dans la bande passante, la fonction rationnelle elliptique varie entre zéro et un. Le gain de la bande passante varie donc entre 1 et 1. ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2 <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ϵ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}</annotation></semantics></math><img src=$
Dans la bande d'arrêt, la fonction rationnelle elliptique varie entre l'infini et le facteur de discrimination. ${\displaystyle L_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>L</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>L</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>,</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le gain de la bande d'arrêt variera donc entre 0 et

{\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2 <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ϵ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mi>L</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Dans la limite de ${\displaystyle \xi ightarrow \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle xi rightarrow infty}</annotation></semantics></math><img src=$ ε
Puisque le filtre de Butterworth est une forme limite du filtre de Tchebychev, il s'ensuit que dans la limite de ${\displaystyle \xi ightarrow \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle xi rightarrow infty}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{0} ightarrow 0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>→</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle omega _ {0} rightarrow 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \epsilon ightarrow 0 <semantics><mrow><mstyle><mi>ϵ</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle epsilon rightarrow 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>ϵ</mi><mspace></mspace><msub><mi>R</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><msub><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}</annotation></semantics></math><img src=$
Dans la limite de ${\displaystyle \xi ightarrow \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle xi rightarrow infty}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \epsilon ightarrow 0 <semantics><mrow><mstyle><mi>ϵ</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle epsilon rightarrow 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{0} ightarrow 0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>→</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle omega _ {0} rightarrow 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \xi \omega _{0}=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle xi omega _ {0} = 1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>ϵ</mi><msub><mi>L</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega ) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mi>T</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>ω</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></msqrt></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pôles et zéros

Les zéros du gain d'un filtre elliptique coïncident avec les pôles de la fonction rationnelle elliptique, qui sont dérivés dans l'article sur les fonctions rationnelles elliptiques .

Les pôles du gain d'un filtre elliptique peuvent être obtenus de manière très similaire à celle utilisée pour obtenir les pôles du gain d'un filtre de Chebyshev de type I. Par souci de simplicité, supposons que la fréquence de coupure soit égale à l'unité. Les pôles ${\displaystyle (\omega _{pm}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>p</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\omega _{pm})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle s=\sigma +j\omega <semantics><mrow><mstyle><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>σ</mi><mo>+</mo><mi>j</mi><mi>ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s=\sigma +j\omega }</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\, <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ϵ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>j</mi><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}</annotation></semantics></math></span><img src=

Définition ${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi ) <semantics><mrow><mstyle><mo>−</mo><mi>j</mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mrow><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}} ight)=0\, <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ϵ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mi>w</mi><msub><mi>K</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mi>K</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>L</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}} ight)=0\,}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle K=K(1/\xi ) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K=K(1/\xi )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>K</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>K</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><msub><mi>L</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}</annotation></semantics></math><img src=$ w

{\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}} ight)+{\frac {mK}{n <semantics><mrow><mstyle><mi>w</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>K</mi><mrow><mi>n</mi><msub><mi>K</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mo>±</mo><mi>j</mi></mrow><mi>ϵ</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>L</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>m</mi><mi>K</mi></mrow><mi>n</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}} ight)+{\frac {mK}{n}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où les multiples valeurs de la fonction inverse cd() sont explicitées à l'aide de l'indice entier m .

Les pôles de la fonction de gain elliptique sont alors :

{\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>s</mi><mrow><mi>p</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>je</mi><mspace></mspace><mrow><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow><mo>(</mo><mi>w</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,}</annotation></semantics></math></span><img src=

Comme c'est le cas pour les polynômes de Tchebychev, cela peut être exprimé sous une forme explicitement complexe et al. 2001 , § 12.8).

{\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>s</mi><mrow><mi>p</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>un</mi><mo>+</mo><mi>j</mi><mi>b</mi></mrow><mi>c</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt></mrow><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>x</mi><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt></mrow><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>x</mi><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2}) <semantics><mrow><mstyle><mi>b</mi><mo>=</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle \zeta _{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta _{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n,\,\epsilon <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>ϵ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n,\,\epsilon }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \xi <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \xi }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x_{m <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>x</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x_{m}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \zeta _{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta _{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ n en termes de fonctions elliptiques de Jacobi, ou algébriquement pour certains ordres, notamment les ordres 1, 2 et 3. Pour les ordres 1 et 2, nous avons

{\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ζ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ϵ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ζ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ϵ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mo>+</mo><mrow><msqrt><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>t</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>ϵ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où

{\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>t</mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

L' expression algébrique de ${\displaystyle \zeta _{3 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ζ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta _{3}}</annotation></semantics></math><img src=$ et al. (2001 , § 12.8.1) ).

La propriété d'emboîtement des fonctions rationnelles elliptiques peut être utilisée pour construire des expressions d'ordre supérieur pour ${\displaystyle \zeta _{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta _{n}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}} ight) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ζ</mi><mrow><mi>m</mi><mo>⋅</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>,</mo><mi>ϵ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>ζ</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>ξ</mi><mo>,</mo><mrow><msqrt><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>ϵ</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}} ight)}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi ) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>L</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>,</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}</annotation></semantics></math><img src=$

Considérations de conception

Voir & et al. (2001 , § 12.11, 13.14) .

Les filtres elliptiques sont généralement spécifiés par des valeurs particulières pour l'ondulation de la bande passante, α _p , l'ondulation de la bande d'arrêt, α _{s,} et la sélectivité de la coupure. Ces paramètres définissent un ordre minimal _p et bloquant les fréquences supérieures à _s , et définissons le filtre auxiliaire. ${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}} ight)^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}} ight)^{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>vous</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mroot></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mroot></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}} ight)^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}} ight)^{2}}}}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&n\geq {\frac {\log {\left(16{\frac {G_{s}}{G_{p}}} ight)}}{-\log(u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13})}}\\&{ ext{Où :}}\\&Gs=10^{\alpha _{s/10}}-1\\&Gp=10^{\alpha _{p/10}}-1\\\end{aligned </span referrerpolicy=$ Cette équation résulte d'une approximation de la fonction intégrale elliptique complète K ; une formulation exacte est ${\displaystyle n\geq {\frac {K\left({\sqrt {1- au _{1}^{2}}} ight)K( au _{2})}{K( au _{1})K\left({\sqrt {1- au _{2}^{2}}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>≥</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>K</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>τ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mi>K</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>τ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n\geq {\frac {K\left({\sqrt {1- au _{1}^{2}}} ight)K( au _{2})}{K( au _{1})K\left({\sqrt {1- au _{2}^{2}}} ight)}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned} au _{1}&={\sqrt {\frac {G_{p}}{G_{s}}}}\\ au _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><msub><mi>G</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mi>G</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mfrac></msqrt></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned} au _{1}&={\sqrt {\frac {G_{p}}{G_{s}}}}\\ au _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm})) <semantics><mrow><mstyle><mi>Q</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>p</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mrow><mi>R</mi><mi>e</mi></mrow><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mi>p</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mi>p</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

et mesure l'influence du pôle sur la fonction de gain. Pour un filtre elliptique, il arrive que, pour un ordre donné, il existe une relation entre le facteur d'ondulation et le facteur de sélectivité qui minimise simultanément le facteur Q de tous les pôles de la fonction de transfert :

{\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi ) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ϵ</mi><mrow><mi>Q</mi><mi>m</mi><mi>je</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><msub><mi>L</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></msqrt></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Il en résulte un filtre extrêmement insensible aux variations des composants, mais la possibilité de spécifier indépendamment les ondulations des bandes passante et d'arrêt est perdue. Pour de tels filtres, à mesure que l'ordre augmente, l'ondulation dans les deux bandes diminue et la fréquence de coupure augmente. Si l'on choisit d'utiliser un filtre elliptique à facteur de qualité minimal (Q minimum) afin d'obtenir une ondulation minimale particulière dans les bandes de filtrage, ainsi qu'une fréquence de coupure spécifique, l'ordre nécessaire sera généralement supérieur à celui requis sans la contrainte de facteur de qualité minimal. L'image de la valeur absolue du gain sera très similaire à celle de la section précédente, à ceci près que les pôles sont disposés sur un cercle et non sur une ellipse. Ils ne seront pas équidistants et l'axe ω présentera des zéros, contrairement au filtre de Butterworth dont les pôles sont disposés sur un cercle équidistant sans zéros.

Comparaison avec d'autres filtres linéaires

Voici une image montrant le filtre elliptique à côté d'autres types courants de filtres obtenus avec le même nombre de coefficients :

Comme le montre clairement l'image, les filtres elliptiques sont plus nets que tous les autres, mais ils présentent des ondulations sur toute la bande passante.

Construction à partir des zéros de transmission de Tchebychev

Les bandes d'arrêt des filtres elliptiques sont essentiellement des filtres de Tchebychev à zéros de transmission, ces derniers étant agencés de manière à obtenir une bande d'arrêt à ondulation uniforme. Dès lors, il est possible de convertir l'équation caractéristique d'un filtre de Tchebychev. ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$

le ${\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ n , ci-dessus, à rebours à partir de n pour trouver ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={ ext{ number of poles (order of the filter)}}\\\alpha _{p}{ ext{ and }}\alpha _{s}&={ ext{pass band and stop band attenuation, respectively}}\\\omega _{p}{ ext{ and }}\omega _{s}&={ ext{pass band and stop band frequencies, respectively}}\\D&={\frac {G_{s}}{G_{p}}}={\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={ ext{ real root of above equation}}\\k&={ ext{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>n</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mtext> nombre de pôles (ordre du filtre)</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>α</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mrow><mtext> et </mtext></mrow><msub><mi>α</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mtext>atténuation dans la bande passante et dans la bande d'arrêt, respectivement</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mrow><mtext> et </mtext></mrow><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mtext>fréquences de la bande passante et de la bande d'arrêt, respectivement</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>D</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><msub><mi>G</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><msub><mi>G</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><msub><mi>α</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>10</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><msub><mi>α</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>10</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>q</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>16</mn><mi>D</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>q</mi><mo>+</mo><mi>vous</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>vous</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><msup><mi>vous</mi><mrow><mn>9</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>150</mn><msup><mi>vous</mi><mrow><mn>13</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>vous</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mtext> racine réelle de l'équation ci-dessus</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mtext> le facteur de sélectivité </mtext></mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>vous</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>vous</mi></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>k</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>vous</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>vous</mi></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></msqrt></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}n&={ ext{ number of poles (order of the filter)}}\\\alpha _{p}{ ext{ and }}\alpha _{s}&={ ext{pass band and stop band attenuation, respectively}}\\\omega _{p}{ ext{ and }}\omega _{s}&={ ext{pass band and stop band frequencies, respectively}}\\D&={\frac {G_{s}}{G_{p}}}={\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={ ext{ real root of above equation}}\\k&={ ext{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les polynômes caractéristiques, ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ε</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mi>K</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></msqrt></mrow><msub><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mtext>Pôles LHP</mtext></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>ε</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mn>10</mn><mrow><mi>UN</mi><mi>p</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>10.</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle A_{p <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{p}}</annotation></semantics></math><img src=$

Exemple simple

Concevez un filtre elliptique avec une ondulation de bande passante de 1 dB de 0 à 1 rad/s et une ondulation de bande d'arrêt de 40 dB d'au moins 1,25 rad/s à ${\displaystyle \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \infty }</annotation></semantics></math><img src=$

En appliquant les calculs ci-dessus pour la valeur de n avant l'application de la fonction ceil() , on trouve que n vaut 4,83721900, arrondi à l'entier supérieur, soit 5, après application de la fonction ceil() . Cela signifie qu'un filtre elliptique à 5 pôles est nécessaire pour satisfaire aux exigences de conception spécifiées. ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$

La fonction d'inversion polynomiale à échelle réduite peut être effectuée en translatant chaque racine, s , vers ${\displaystyle \Omega _{c}/s <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>s</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}/s}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>un</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>…</mo><mi>c</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>d</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>e</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>⟹</mo><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>e</mi><msubsup><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mo>)</mo><msup><mi>s</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>d</mi><msubsup><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mo>)</mo><msup><mi>s</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>…</mo><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>c</mi><msubsup><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mo>)</mo><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>b</mi><msubsup><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mo>)</mo><msup><mi>s</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>un</mi><msubsup><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mo>)</mo><msup><mi>s</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les étapes de conception elliptique sont alors les suivantes :

Concevoir un filtre de Chebyshev avec une ondulation de bande passante de 1 dB.
Inverser tous les zéros de réflexion par rapport à ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$
Créez une bande passante à ondulation uniforme à partir des zéros de transmission en utilisant le processus décrit dans les zéros de transmission de Chebyshev.
Répétez les étapes 2 et 3 jusqu'à ce que les bandes passante et d'arrêt ne varient plus de manière significative. En général, 15 à 25 itérations permettent d'obtenir des différences de coefficients de l'ordre de 10⁻¹⁵.

Pour illustrer les étapes, les équations K(s) ci-dessous partent d'un K(s) de Chebyshev standard, puis itèrent le processus. Des différences visibles apparaissent lors des trois premières itérations. À partir de la 18e itération, les différences de K(s) deviennent négligeables. Les itérations peuvent être interrompues lorsque la variation des coefficients K(s) devient suffisamment faible pour satisfaire aux exigences de précision de conception. Toutes les itérations de K(s) ci-dessous ont été normalisées de sorte que ${\displaystyle |K(j)|=1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |K(j)|=1}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\begin{aligned}{ ext{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{ ext{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{ ext{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{ ext{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{ ext{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mtext>itération 0 : </mtext></mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>16</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>20</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>s</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext>itération 1 : </mtext></mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>9,2965947</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>12,999133</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4,0025668</mn><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>0,14167325</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>0,84164496</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext>itération 2 : </mtext></mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>8,6496472</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>12,270597</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>3,8746611</mn><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>0,19518773</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>0,94147634</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext>itération 17 : </mtext></mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>8,550086786383502</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>12,157269873073034</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>3,854163602012615</mn><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>0,2043607336740334</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>0,9573802183509494</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext>itération 18 : </mtext></mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>8,550086786383422</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>12,157269873072942</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>3,854163602012599</mn><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>0,2043607336740334</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>0,9573802183509494</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{ ext{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{ ext{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{ ext{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{ ext{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{ ext{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour trouver le ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}}}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mi>ε</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mn>10</mn><mrow><mn>1</mn><mi>d</mi><mi>B</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>10.</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1.</mn><mo>=</mo><mn>.25892541</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></msqrt></mrow><msub><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mtext>Pôles LHP</mtext></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ε</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mi>K</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msub><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mtext>Pôles LHP</mtext></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mi>K</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mi>K</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>ε</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mi>vous</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mi>K</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mi>vous</mi><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msub><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mtext>Pôles LHP</mtext></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>0,20436073</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>0,95738022</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mrow><msqrt><mo>−</mo><mn>18,928479</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>10</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>53,78661</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>8</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>54,942632</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>6</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>22,939175</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1,931467</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow><msub><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mtext>Pôles LHP</mtext></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{ ext{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour obtenir ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle |G(s)| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |G(s)|}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle s=0 <semantics><mrow><mstyle><mi>s</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s=0}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>0,20436073</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>0,95738022</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>4,3506872</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4,0174213</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8,0362343</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4,9129149</mn><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>3,4288915</mn><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour confirmer que l'exemple ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle j\omega <semantics><mrow><mstyle><mi>j</mi><mi>ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle j\omega }</annotation></semantics></math><img src=$

modifications de l'ordre pair

Les filtres elliptiques d'ordre pair, réalisés avec des éléments passifs (généralement des inductances, des condensateurs et des lignes de transmission) et des terminaisons de même valeur de part et d'autre, ne peuvent être implémentés avec la fonction de transfert elliptique traditionnelle sans l'utilisation de bobines couplées, ce qui peut s'avérer indésirable ou impossible. Ceci est dû à l'impossibilité physique de prendre en compte les zéros de réflexion et de transmission de Chebyshev d'ordre pair , qui entraînent des valeurs de la matrice de diffusion S12 supérieures à la valeur S12 à ${\displaystyle \omega =0 <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega =0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega =\infty <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>=</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega =\infty }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega =0 <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega =0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega =\infty <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>=</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega =\infty }</annotation></semantics></math><img src=$

La modification nécessaire consiste à associer chaque pôle et zéro de la fonction de transfert elliptique de manière à ce que le zéro de réflexion de plus basse fréquence soit associé à zéro, et le zéro de transmission de plus haute fréquence à zéro. ${\displaystyle \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \infty }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour translater les zéros de réflexion, l'équation suivante est appliquée à tous les pôles et zéros de ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mo>′</mo></msubsup><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>ω</mi><mrow><mi>L</mi><mi>O</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>ω</mi><mrow><mi>L</mi><mi>O</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Où:

${\displaystyle R_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle R_{i}' <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mo>′</mo></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}'}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \omega _{LO <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>L</mi><mi>O</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{LO}}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour déplacer les zéros de transmission, l'équation suivante est appliquée à tous les pôles et zéros de ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mo>′</mo></msubsup><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>ω</mi><mrow><mi>H</mi><mi>je</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mi>ω</mi><mrow><mi>H</mi><mi>je</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Où:

${\displaystyle R_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \omega _{HI <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>H</mi><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{HI}}</annotation></semantics></math><img src=$

Le signe de la composante imaginaire de ${\displaystyle R_{i}' <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mo>′</mo></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}'}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R_{i}' <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mo>′</mo></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}'}</annotation></semantics></math><img src=$

Il est important de noter que toutes les applications nécessitent des traductions de bandes passantes et d'arrêt. Les diplexeurs de réseau passifs, par exemple, ne nécessitent que des traductions de bandes d'arrêt d'ordre pair et fonctionnent plus efficacement avec des bandes passantes d'ordre pair non traduites.

Quand ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega =0 <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega =0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega =\infty <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>=</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega =\infty }</annotation></semantics></math><img src=$

L'illustration ci-dessous montre un filtre elliptique du 8e ordre modifié pour prendre en charge les réseaux passifs à terminaison égale d'ordre pair en déplaçant le zéro de réflexion de fréquence la plus basse d'une fréquence finie à 0 et le zéro de transmission de fréquence la plus élevée à ${\displaystyle \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \infty }</annotation></semantics></math><img src=$

Le ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ n , peut donner une valeur inférieure à l'ordre réellement requis.

Mise en œuvre du sablier

Un filtre en forme de sablier est un cas particulier de filtre où les zéros de réflexion sont l'inverse des zéros de transmission autour d'une fréquence de coupure normalisée à 3,01 dB de 1 rad/s, ce qui a pour conséquence que tous les pôles du filtre se trouvent sur le cercle unité . L'implémentation elliptique du filtre en forme de sablier présente l'avantage, par rapport à un filtre de Chebyshev inverse , d'avoir une bande passante plus plate, et par rapport aux filtres elliptiques traditionnels, d' avoir un pic moins prononcé au niveau de la fréquence de coupure.

Réponse en fréquence réciproque en forme de sablier S11 et S12 — Réponse en fréquence réciproque S11 et S12 en forme de sablier à 7 pôles

Processus de synthèse

La méthode la plus simple pour synthétiser un filtre en sablier consiste à concevoir un filtre elliptique avec une atténuation de bande d'arrêt nominale spécifiée, As , et une atténuation de bande passante calculée qui satisfait à l' exigence de réseau à deux ports sans pertes , à savoir que les paramètres de diffusion ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>S</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>S</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>d</mi><mi>B</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>20</mn><mi>l</mi><mi>o</mi><msub><mi>g</mi><mrow><mn>10</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>S</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mi>un</mi><mi>r</mi><mi>je</mi><mi>t</mi><mi>h</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith})}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>10</mn><msub><mi>enregistrer</mi><mrow><mn>10</mn></mrow></msub><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mn>1.</mn><mo>−</mo><msup><mn>10</mn><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>10</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)})}}</annotation></semantics></math><img src=$

Le paramètre A _p , défini précédemment, génère des zéros de réflexion et de transmission réciproques autour d'une fréquence de coupure de 3,01 dB encore inconnue. Pour concevoir un filtre elliptique avec une bande passante de 1 rad/s, il est nécessaire de déterminer la fréquence d'atténuation de 3,01 dB, qui servira ensuite à mettre à l'échelle inverse les polynômes de conception elliptique. On obtient ainsi des polynômes présentant une atténuation de 3,01 dB à une fréquence normalisée de 1 rad/s. La méthode de Newton ou la résolution directe des équations à l'aide d'un algorithme de recherche de racines peuvent être utilisées pour déterminer cette fréquence d'atténuation de 3,01 dB.

Mise à l'échelle de fréquence par la méthode de Newton

Si ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$

Si ${\displaystyle G(s)G(-s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)G(-s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(-s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(-s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s)G(-s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)G(-s)}</annotation></semantics></math><img src=$
nier tous les termes de ${\displaystyle s^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>s</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (n+2) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (n+2)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 4 <semantics><mrow><mstyle><mn>4</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 4}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle s^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle s^{6 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>s</mi><mrow><mn>6</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s^{6}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle s^{10 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>s</mi><mrow><mn>10</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s^{10}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G_{2}(s)G_{2}(-s) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G_{2}(s)G_{2}(-s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle j\omega _{a <semantics><mrow><mstyle><mi>j</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle j\omega _{a}}</annotation></semantics></math><img src=$
Convertissez l'atténuation souhaitée en dB, ${\displaystyle A_{dB <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>d</mi><mi>B</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{dB}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle B_{arith}^{2 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>B</mi><mrow><mi>un</mi><mi>r</mi><mi>je</mi><mi>t</mi><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B_{arith}^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>B</mi><mrow><mi>un</mi><mi>r</mi><mi>je</mi><mi>t</mi><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mn>10</mn><mrow><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>d</mi><mi>B</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>10</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}</annotation></semantics></math><img src=$
Calculez le modifié ${\displaystyle |G_{2}(s)G_{2}(-s)| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |G_{2}(s)G_{2}(-s)|}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation></semantics></math><img src=$
Calculez la dérivée de la fonction modifiée ${\displaystyle G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mo>−</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation></semantics></math><img src=$

Lorsque les étapes 1) à 4) sont terminées, l'expression impliquant la méthode de Newton peut s'écrire comme suit :

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mo>(</mo><mo>[</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mo>−</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>−</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>[</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mo>−</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>]</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>d</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}</annotation></semantics></math><img src=$

en utilisant une valeur réelle pour ${\displaystyle \omega _{a <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{a <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{a}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$

Mise à l'échelle de fréquence avec recherche de racine

Depuis ${\displaystyle |G(j\omega _{a})| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |G(j\omega _{a})|}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(-s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(-s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(j\omega a) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><mi>ω</mi><mi>un</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(j\omega a)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(j\omega a) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><mi>ω</mi><mi>un</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(j\omega a)}</annotation></semantics></math><img src=$

Si ${\displaystyle G(s)G(-s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)G(-s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(-s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(-s)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G(s)G(-s) <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mi>G</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G(s)G(-s)}</annotation></semantics></math><img src=$
Convertissez l'atténuation souhaitée en dB, ${\displaystyle A_{dB <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>d</mi><mi>B</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{dB}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle B_{arith}^{2 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>B</mi><mrow><mi>un</mi><mi>r</mi><mi>je</mi><mi>t</mi><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B_{arith}^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>B</mi><mrow><mi>un</mi><mi>r</mi><mi>je</mi><mi>t</mi><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mn>10</mn><mrow><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>d</mi><mi>B</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>10</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}</annotation></semantics></math><img src=$
Trouver ${\displaystyle P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S) <semantics><mrow><mstyle><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>S</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mi>n</mi><mi>vous</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>S</mi><mo>)</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mi>n</mi><mi>vous</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>S</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><msubsup><mi>B</mi><mrow><mi>un</mi><mi>r</mi><mi>je</mi><mi>t</mi><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mi>G</mi><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>S</mi><mo>)</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>S</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S)}</annotation></semantics></math><img src=$
Trouvez les racines de P(S) en utilisant un algorithme de recherche de racines.
Parmi les racines ci-dessus, sélectionnez la racine imaginaire positive pour tous les filtres d'ordre 1 et la racine réelle positive pour les filtres d'ordre pair. ${\displaystyle \omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$

Mise à l'échelle de la fonction de transfert

Quand ${\displaystyle \omega _{c <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{c}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)_{ ext{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{ ext{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{ ext{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{ ext{ (}}3.01{ ext{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{ ext{ 3.01 dB attenuation frequency }}\ n,nd&={ ext{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={ ext{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mtext>orig</mtext></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>N</mi><mrow><mi>n</mi><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mi>s</mi><mrow><mi>n</mi><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mi>N</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>N</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>s</mi><mo>+</mo><msub><mi>N</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>D</mi><mrow><mi>n</mi><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mi>s</mi><mrow><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mi>D</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>D</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>s</mi><mo>+</mo><msub><mi>D</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mrow><mtext> (polynômes de fonction de transfert originaux non mis à l'échelle)</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mtext> escaladé</mtext></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>N</mi><mrow><mi>n</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mi>s</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mi>N</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mi>s</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>N</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mi>s</mi><mo>+</mo><msub><mi>N</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>D</mi><mrow><mi>n</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mi>s</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mi>D</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mi>s</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>D</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mi>s</mi><mo>+</mo><msub><mi>D</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mrow><mtext> (</mtext></mrow><mn>3.01</mn><mrow><mtext> dB à 1 rad/sec polynômes de fonction de transfert mis à l'échelle)</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mtext> Fréquence d'atténuation de 3,01 dB </mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n</mi><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mi>d</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mtext> ordre du numérateur et du dénominateur, respectivement</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>N</mi><mo>,</mo><mi>D</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mtext> coefficients du numérateur et du dénominateur, respectivement</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}G(s)_{ ext{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{ ext{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{ ext{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{ ext{ (}}3.01{ ext{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{ ext{ 3.01 dB attenuation frequency }}\ n,nd&={ ext{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={ ext{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

modifications de l'ordre pair

Les filtres Hourglass d'ordre pair présentent les mêmes limitations concernant les réseaux passifs à terminaison identique que les autres filtres elliptiques. Les modifications d'ordre pair qui résolvent le problème des filtres elliptiques le résolvent également pour les filtres Hourglass.

0-07-015308-6.

Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Conception de filtres pour le traitement du signal à l'aide de MATLAB et Mathematica . New Jersey, États-Unis : Prentice Hall. ISBN0-201-36130-2.