Coimage

En algèbre , la coimage d'un homomorphisme

{\displaystyle f:A ightarrow B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>UN</mi> <mo>→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:A\flèche droite B}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

est le quotient

{\displaystyle { ext{coim}}f=A/\ker(f) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtext>coim</mtext> </mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { ext{coim}}f=A/\ker(f)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

du domaine par le noyau . La coimage est canoniquement isomorphe à l' image par le premier théorème d'isomorphisme , lorsque ce théorème s'applique.

Plus généralement, en théorie des catégories , la coimage d'un morphisme est la notion duale de l' image d'un morphisme . Si , alors une coimage de (si elle existe) est un épimorphisme tel que ${\displaystyle f:X ightarrow Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:X ightarrow Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c:X ightarrow C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c:X\flèche droite C}</annotation> </semantics> </math><img src=$

il y a une carte avec , ${\displaystyle f_{c}:C ightarrow Y <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>C</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{c}:C\flèche droite Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f=f_{c}\circ c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>∘</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f=f_{c}\circ c}</annotation> </semantics> </math><img src=$
pour tout épimorphisme pour lequel il existe une application avec , il existe une application unique telle que et ${\displaystyle z:X ightarrow Z <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle z: X rightarrow Z}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f_{z}:Z ightarrow Y <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>Z</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle f_ {z}: Z rightarrow Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f=f_{z}\circ z <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>∘</mo> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle f = f_ {z} circ z}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h:Z ightarrow C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mi>Z</mi> <mo>→</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle h: Z rightarrow C}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c=h\circ z <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo>∘</mo> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c=h\circ z}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f_{z}=f_{c}\circ h <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{z}=f_{c}\circ h}</annotation> </semantics> </math><img src=$