Dimension complexe

En mathématiques , la dimension complexe désigne généralement la dimension d'une variété complexe ou d'une variété algébrique complexe . Ce sont des espaces dans lesquels les voisinages locaux des points (ou des points non singuliers dans le cas d'une variété) sont modélisés par un produit cartésien de la forme ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbb {C} ^ {d}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ une dimension réelle ${\displaystyle 2d <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 2d <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 2d <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2d}</annotation></semantics></math><img src=$

Cependant, pour une variété algébrique réelle (c'est-à-dire une variété définie par des équations à coefficients réels), sa dimension fait généralement référence à sa dimension complexe, et sa dimension réelle à la dimension maximale des variétés contenues dans l'ensemble de ses points réels. La dimension réelle est inférieure ou égale à la dimension complexe, et elle lui est égale si la variété est irréductible et possède des points réels non singuliers . Par exemple, l'équation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0}</annotation></semantics></math><img src=$

Les mêmes considérations s'appliquent à la codimension . Par exemple, une hypersurface complexe lisse dans un espace projectif complexe de dimension n est une variété de dimension 2( n − 1). Un hyperplan complexe ne sépare pas un espace projectif complexe en deux composantes, car sa codimension réelle est 2.