Représentation informatique des surfaces

Dans les applications techniques de l'infographie 3D ( CAx ) telles que la conception assistée par ordinateur et la fabrication assistée par ordinateur , les surfaces sont une façon de représenter les objets. Les autres façons sont les structures filaires (lignes et courbes) et les solides. Les nuages ​​de points sont également parfois utilisés comme moyens temporaires de représenter un objet, dans le but d'utiliser les points pour créer une ou plusieurs des trois représentations permanentes.

Si l'on considère une paramétrisation locale d'une surface :

alors les courbes obtenues en faisant varier u tout en gardant v fixe sont des lignes de coordonnées , parfois appelées lignes de flux u . Les courbes obtenues en faisant varier v tout en gardant u fixe sont appelées lignes de flux v . Ce sont des généralisations des lignes de coordonnées cartésiennes x et y dans le système de coordonnées planes et des méridiens et cercles de latitude dans un système de coordonnées sphériques .

Les surfaces ouvertes ne sont fermées ni dans un sens ni dans l'autre. Cela signifie que tout déplacement dans n'importe quelle direction le long de la surface amènera l'observateur à heurter le bord de la surface. Le capot d'une voiture est un exemple de surface ouverte dans les deux sens.

Les surfaces fermées dans une direction comprennent un cylindre, un cône et un hémisphère. Selon la direction du déplacement, un observateur sur la surface peut heurter une limite sur une telle surface ou voyager indéfiniment.

Les surfaces fermées dans les deux sens comprennent une sphère et un tore. Un déplacement dans n'importe quelle direction sur de telles surfaces obligera l'observateur à voyager indéfiniment sans toucher un bord.

Les endroits où deux limites se chevauchent (sauf en un point) sont appelés une couture . Par exemple, si l'on imagine un cylindre fait à partir d'une feuille de papier enroulée et scotchée sur les bords, les limites où elle est scotchée sont appelées la couture.

Certaines surfaces ouvertes et fermées dans une direction peuvent être aplaties en un plan sans déformation de la surface. Par exemple, un cylindre peut être aplati en une zone rectangulaire sans déformer la distance de surface entre les éléments de surface (à l'exception des distances à travers la fente créée par l'ouverture du cylindre). Un cône peut également être aplati de cette manière. De telles surfaces sont linéaires dans une direction et courbées dans l'autre (les surfaces linéaires dans les deux directions étaient plates au départ). Les surfaces en tôle qui ont des motifs plats peuvent être fabriquées en emboutissant une version plate, puis en les pliant pour leur donner la forme appropriée, par exemple avec des rouleaux. Il s'agit d'un procédé relativement peu coûteux.

Les autres surfaces ouvertes et fermées dans une direction, ainsi que toutes les surfaces fermées dans les deux directions, ne peuvent pas être aplaties sans déformation. Un hémisphère ou une sphère, par exemple, ne le peuvent pas. Ces surfaces sont courbées dans les deux sens. C'est pourquoi les cartes de la Terre sont déformées. Plus la zone représentée par la carte est grande, plus la distorsion est importante. Les surfaces en tôle qui ne présentent pas de motif plat doivent être fabriquées par emboutissage à l'aide de matrices 3D (nécessitant parfois plusieurs matrices avec des profondeurs d'emboutissage et/ou des directions d'emboutissage différentes), qui ont tendance à être plus coûteuses.

Une surface peut être composée d'un ou plusieurs patchs , chaque patch ayant son propre système de coordonnées UV. Ces patchs de surface sont analogues aux arcs polynomiaux multiples utilisés pour construire une spline . Ils permettent de représenter des surfaces plus complexes par une série d'ensembles d'équations relativement simples plutôt que par un seul ensemble d'équations complexes. Ainsi, la complexité des opérations telles que les intersections de surfaces peut être réduite à une série d'intersections de patchs.

Les surfaces fermées dans une ou deux directions doivent souvent également être divisées en deux ou plusieurs zones de surface par le logiciel.

Les surfaces et les zones de surface ne peuvent être découpées qu'au niveau des lignes d'écoulement U et V. Pour surmonter cette limitation sévère, les faces de surface permettent de limiter une surface à une série de limites projetées sur la surface dans n'importe quelle orientation, à condition que ces limites soient collectivement fermées. Par exemple, le découpage d'un cylindre selon un angle nécessiterait une telle face de surface.

Une seule face de surface peut s'étendre sur plusieurs zones de surface sur une seule surface, mais ne peut pas s'étendre sur plusieurs surfaces.

Les faces planes sont similaires aux faces de surface, mais sont limitées par une série de limites collectivement fermées projetées sur un plan infini, au lieu d'une surface.

Comme pour les surfaces, les faces de surface fermées dans une ou deux directions doivent souvent être divisées en deux ou plusieurs faces de surface par le logiciel. Pour les combiner en une seule entité, une peau ou un volume est créé. Une peau est un ensemble ouvert de faces et un volume est un ensemble fermé. Les faces constitutives peuvent avoir la même surface ou face de support ou peuvent avoir des supports différents.

Les volumes peuvent être remplis pour construire un modèle solide (éventuellement avec d'autres volumes soustraits de l'intérieur). Les peaux et les faces peuvent également être décalées pour créer des solides d'épaisseur uniforme.

Les patchs d'une surface et les faces construites sur cette surface présentent généralement une continuité ponctuelle (pas d'espaces) et une continuité tangentielle (pas d'angles aigus). La continuité de courbure (pas de changement de rayon aigu) peut être maintenue ou non.

Les peaux et les volumes, en revanche, ne présentent généralement qu'une continuité ponctuelle. Les angles vifs entre les faces construites sur des supports différents (plans ou surfaces) sont fréquents.

Les surfaces peuvent être affichées de plusieurs façons :

• Mode filaire. Dans cette représentation, la surface est dessinée sous forme d'une série de lignes et de courbes, sans suppression des lignes cachées . Les limites et les lignes de flux (courbes isoparamétriques) peuvent être représentées sous forme de courbes continues ou en pointillés. L'avantage de cette représentation est qu'une grande quantité de géométrie peut être affichée et pivotée à l'écran sans délai nécessaire au traitement graphique.

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  Wireframe
  bords cachés
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  isolignes UV filaires

• Mode à facettes. Dans ce mode, chaque surface est dessinée sous la forme d'une série de régions planes, généralement des rectangles. La suppression des lignes cachées est généralement utilisée avec une telle représentation. La suppression statique des lignes cachées ne met pas à jour les lignes masquées pendant la rotation, mais seulement une fois l'écran actualisé. La suppression dynamique des lignes cachées met à jour en permanence les courbes masquées pendant les rotations.

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  Maquette filaire à facettes
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  Facette ombrée

• Mode ombré. Un ombrage peut ensuite être ajouté aux facettes, éventuellement avec un mélange entre les régions pour un affichage plus fluide. L'ombrage peut également être statique ou dynamique. Une qualité d'ombrage inférieure est généralement utilisée pour l'ombrage dynamique, tandis qu'un ombrage de haute qualité, avec plusieurs sources de lumière, textures , etc., nécessite un délai pour le rendu.

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  ombragé
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  lignes de réflexion
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  image réfléchie

Les systèmes CAO / FAO utilisent principalement deux types de surfaces :

• Les surfaces régulières (ou canoniques) comprennent les surfaces de révolution telles que les cylindres, les cônes, les sphères et les tores, et les surfaces réglées (linéaires dans une direction) telles que les surfaces d'extrusion.
• Les surfaces de forme libre (généralement NURBS ) permettent de représenter des formes plus complexes via la modélisation de surfaces de forme libre .

D'autres formes de surface telles que les facettes et les voxels sont également utilisées dans quelques applications spécifiques.

En ingénierie assistée par ordinateur et en analyse par éléments finis , un objet peut être représenté par un maillage de surface de points nodaux reliés par des triangles ou des quadrilatères ( maillage polygonal ). Des résultats plus précis, mais aussi beaucoup plus gourmands en ressources processeur, peuvent être obtenus en utilisant un maillage solide . Le processus de création d'un maillage est appelé tessellation . Une fois tessellé, le maillage peut être soumis à des contraintes, des déformations, des différences de température, etc. simulées, pour voir comment ces changements se propagent d'un point nodal à un autre dans tout le maillage.

En réalité virtuelle et en animation par ordinateur , un objet peut également être représenté par un maillage de surface de points nodaux reliés par des triangles ou des quadrilatères. Si l'objectif est uniquement de représenter la partie visible d'un objet (et non de montrer les modifications apportées à l'objet), un maillage solide ne sert à rien pour cette application. Les triangles ou les quadrilatères peuvent chacun être ombrés différemment en fonction de leur orientation par rapport aux sources de lumière et/ou au spectateur. Cela donnera une apparence plutôt à facettes, c'est pourquoi une étape supplémentaire est souvent ajoutée où l'ombrage des régions adjacentes est mélangé pour fournir un ombrage lisse. Il existe plusieurs méthodes pour effectuer ce mélange.