Analyse factorielle confirmatoire

En statistique , l'analyse factorielle confirmatoire ( AFC ) est une forme particulière d' analyse factorielle , principalement utilisée en sciences sociales. Elle permet de vérifier si les mesures d'un construit sont cohérentes avec la compréhension qu'a le chercheur de la nature de ce construit (ou facteur). Ainsi, l'objectif de l'analyse factorielle confirmatoire est de tester si les données correspondent à un modèle de mesure hypothétique. Ce modèle hypothétique repose sur la théorie et/ou des recherches analytiques antérieures. L'AFC a été initialement développée par Jöreskog (1969) et a remplacé d'anciennes méthodes d'analyse de la validité de construit , telles que la matrice MTMM décrite par Campbell et Fiske (1959).

Dans l'analyse factorielle confirmatoire, le chercheur formule d'abord une hypothèse sur les facteurs sous-jacents aux mesures utilisées (par exemple, la « dépression » étant le facteur sous-jacent à l' Inventaire de dépression de Beck et à l' Échelle d'évaluation de la dépression de Hamilton ) et peut imposer des contraintes au modèle en fonction de ces hypothèses a priori . En imposant ces contraintes, le chercheur force le modèle à être cohérent avec sa théorie. Par exemple, s'il postule que deux facteurs expliquent la covariance des mesures et que ces facteurs sont indépendants, le chercheur peut créer un modèle où la corrélation entre le facteur A et le facteur B est contrainte à zéro. Des mesures d'adéquation du modèle peuvent ensuite être obtenues pour évaluer dans quelle mesure le modèle proposé capture la covariance entre tous les items ou mesures du modèle. Si les contraintes imposées au modèle par le chercheur sont incompatibles avec les données de l'échantillon, les résultats des tests statistiques d'adéquation indiqueront une mauvaise adéquation, et le modèle sera rejeté. Une mauvaise adéquation peut être due au fait que certains items mesurent plusieurs facteurs. Il se peut également que certains éléments d'un facteur soient plus liés entre eux que d'autres.

Pour certaines applications, l’exigence de « saturation nulle » (pour les indicateurs qui ne sont pas censés être associés à un facteur donné) a été jugée trop restrictive. Une méthode d’analyse récemment développée, la « modélisation par équations structurelles exploratoires », spécifie des hypothèses sur la relation entre les indicateurs observés et leurs facteurs latents primaires supposés , tout en permettant également l’estimation des saturations avec d’autres facteurs latents.

Modèle statistique

Dans l'analyse factorielle confirmatoire, les chercheurs s'intéressent généralement à étudier dans quelle mesure les réponses sur un vecteur p x 1 de variables aléatoires observables peuvent être utilisées pour attribuer une valeur à une ou plusieurs variables non observées. ${\displaystyle \xi <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \xi }</annotation></semantics></math><img src=$ L'étude repose en grande partie sur l'estimation et l'évaluation de la contribution de chaque item utilisé pour sonder les aspects de la variable latente non observée. Autrement dit, y[i] représente le vecteur des réponses observées prédites par la variable latente non observée. ${\displaystyle \xi <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \xi }</annotation></semantics></math><img src=$ qui est défini comme :

${\displaystyle Y=\Lambda \xi +\epsilon <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi><mo>=</mo><mi>Λ</mi><mi>ξ</mi><mo>+</mo><mi>ϵ</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle Y = Lambda xi + epsilon}</annotation></semantics></math><img src=$

où ${\displaystyle Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y}</annotation></semantics></math><img src=$ p x 1 de variables aléatoires observées, ${\displaystyle \xi <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \xi }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Lambda <semantics><mrow><mstyle><mi>Λ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Lambda }</annotation></semantics></math><img src=$ p x k avec k égal au nombre de variables latentes. Puisque, ${\displaystyle Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \xi <semantics><mrow><mstyle><mi>ξ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \xi }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \epsilon <semantics><mrow><mstyle><mi>ϵ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \epsilon }</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle F_{\mathrm {ML} }=\ln |\Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'})|+\operatorname {tr} (R(\Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'}))^{-1})-\ln(R)-p <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mrow><mi>M</mi><mi>L</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>Λ</mi><mi>Ω</mi><mi>Λ</mi><mrow><msup><mi></mi><mo>′</mo></msup></mrow><mo>+</mo><mi>je</mi><mo>−</mo><mi>diagnostic</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>Λ</mi><mi>Ω</mi><mi>Λ</mi><mrow><msup><mi></mi><mo>′</mo></msup></mrow><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>+</mo><mi>tr</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>(</mo><mi>Λ</mi><mi>Ω</mi><mi>Λ</mi><mrow><msup><mi></mi><mo>′</mo></msup></mrow><mo>+</mo><mi>je</mi><mo>−</mo><mi>diagnostic</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>Λ</mi><mi>Ω</mi><mi>Λ</mi><mrow><msup><mi></mi><mo>′</mo></msup></mrow><mo>)</mo><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>p</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{\mathrm {ML} }=\ln |\Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'})|+\operatorname {tr} (R(\Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'}))^{-1})-\ln(R)-p}</annotation></semantics></math><img src=$

où ${\displaystyle \Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'}) <semantics><mrow><mstyle><mi>Λ</mi><mi>Ω</mi><mi>Λ</mi><mrow><msup><mi></mi><mo>′</mo></msup></mrow><mo>+</mo><mi>je</mi><mo>−</mo><mi>diagnostic</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>Λ</mi><mi>Ω</mi><mi>Λ</mi><mrow><msup><mi></mi><mo>′</mo></msup></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Lambda \Omega \Lambda {'}+I-\operatorname {diag} (\Lambda \Omega \Lambda {'})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$

Stratégies d'estimation alternatives

Bien que de nombreux algorithmes aient été utilisés pour estimer les modèles d'analyse factorielle confirmatoire (AFC), la méthode du maximum de vraisemblance (MV) demeure la principale procédure d'estimation. Cependant, les modèles d'AFC sont souvent appliqués à des données dont les conditions s'écartent des exigences théoriques habituelles pour une estimation MV valide. Par exemple, les chercheurs en sciences sociales estiment fréquemment des modèles d'AFC avec des données non normales et des indicateurs mesurés à l'aide de catégories ordonnées discrètes. En conséquence, des algorithmes alternatifs ont été développés pour prendre en compte la diversité des données rencontrées par les chercheurs. Ces estimateurs alternatifs sont généralement classés en deux catégories : (1) les estimateurs robustes et (2) les estimateurs à information limitée.

Lorsque l'estimation du maximum de vraisemblance (MV) est appliquée à des données qui s'écartent des hypothèses de la loi normale, les modèles d'analyse factorielle confirmatoire (AFC) peuvent produire des estimations de paramètres biaisées et des conclusions erronées. L'estimation robuste vise généralement à corriger ce problème en ajustant le χ² et les erreurs standard du modèle de la loi normale ^. [ exemple, Satorra et Bentler (1994) ont recommandé d'utiliser l'estimation MV de manière classique, puis de diviser le χ² du modèle ^par une mesure du degré de kurtosis multivariée . Un autre avantage des estimateurs MV robustes est leur disponibilité dans les logiciels d'équations structurelles (SEM) courants (par exemple, LAVAAN).

Malheureusement, les estimateurs du maximum de vraisemblance (MV) robustes peuvent devenir inadaptés dans certaines conditions de données courantes. En particulier, lorsque les indicateurs sont échelonnés à l'aide d'un nombre restreint de catégories de réponse (par exemple, désaccord , neutre , accord ), les estimateurs MV robustes ont tendance à être peu performants. Les estimateurs à information limitée, tels que les moindres carrés pondérés (MCP), sont généralement un meilleur choix lorsque les indicateurs manifestes sont ordinaux. De manière générale, les estimateurs à information limitée prennent en compte les indicateurs ordinaux en utilisant des corrélations polychoriques pour ajuster les modèles d'analyse factorielle confirmatoire (AFC). Les corrélations polychoriques capturent la covariance entre deux variables latentes lorsque seule leur forme catégorisée est observée, ce qui est principalement réalisé par l'estimation de paramètres de seuil.

Analyse factorielle exploratoire

. L'AFC est aussi fréquemment utilisée comme première étape pour évaluer le modèle de mesure proposé dans un modèle d'équations structurelles. De nombreuses règles d'interprétation concernant l'évaluation de l'adéquation du modèle et sa modification en modélisation par équations structurelles s'appliquent également à l'AFC. L'AFC se distingue de la modélisation par équations structurelles par l'absence de relations causales entre les facteurs latents . Autrement dit, alors qu'en AFC, les facteurs ne sont pas considérés comme directement causaux les uns des autres, la modélisation par équations structurelles (SEM) spécifie souvent la nature causale de certains facteurs et variables. Dans le contexte de la SEM, l'AFC est souvent appelée « modèle de mesure », tandis que les relations entre les variables latentes (avec des flèches orientées) sont appelées « modèle structurel ».

Évaluation de l'adéquation du modèle

Pour en savoir plus

Brown, TA (2006). Analyse factorielle confirmatoire pour la recherche appliquée . New York : Guilford.
DiStefano, C., & Hess, B. (2005). Utilisation de l'analyse factorielle confirmatoire pour la validation de construit : une revue empirique. Journal of Psychoeducational Assessment , 23 , 225-241.
Harrington, D. (2009). Analyse factorielle confirmatoire. New York : Oxford University Press.
Maruyama, GM (1998). Principes de base de la modélisation par équations structurelles . Thousand Oaks, CA : Sage.