Simulation continue

La simulation continue fait référence aux approches de simulation dans lesquelles un système est modélisé à l'aide de variables qui changent en continu en fonction d'un ensemble d' équations différentielles .

Il est remarquable comme l'une des premières utilisations jamais faites des ordinateurs, datant de l' Eniac en 1946. La simulation continue permet de prédire

• trajectoires de fusées
• dynamique de la bombe à hydrogène ( NB c'est la première utilisation jamais faite de l'Eniac )
• simulation de circuit électrique
• robotique

Fondée en 1952, la Society for Modeling and Simulation International (SCS) est une société à but non lucratif, dirigée par des bénévoles, qui se consacre à l'avancement de l'utilisation de la modélisation et de la simulation pour résoudre des problèmes du monde réel. Leur première publication suggérait fortement que la Marine gaspillait beaucoup d'argent en effectuant des essais en vol non concluants de missiles, mais que l' ordinateur analogique du Simulation Council pouvait fournir de meilleures informations grâce à la simulation de vols. Depuis lors, la simulation continue s'est avérée inestimable dans les efforts militaires et privés impliquant des systèmes complexes. Aucun lancement d'Apollo vers la Lune n'aurait été possible sans elle.

La distinction entre continu et discret s’applique à la fois aux systèmes dynamiques du monde réel et à leur simulation.

Un système dynamique ( du monde réel) peut être continu ou discret. Les systèmes dynamiques continus (comme les systèmes physiques avec des objets matériels en mouvement dans l'espace) sont caractérisés par des variables d'état dont les valeurs changent en permanence, tandis que les valeurs des variables d'état des systèmes dynamiques discrets (comme les écosystèmes prédateur-proie) « sautent », c'est-à-dire qu'elles ne changent qu'à des pas de temps discrets.

En simulation continue , les variables d'état en constante évolution d'un système sont modélisées par des équations différentielles. Cependant, en informatique numérique, les nombres réels ne peuvent pas être représentés fidèlement et les équations différentielles ne peuvent être résolues numériquement qu'avec des algorithmes approximatifs (comme la méthode d'Euler ou de Runge-Kutta ) utilisant une certaine forme de discrétisation. Par conséquent, les ordinateurs numériques ne peuvent pas exécuter de simulations véritablement continues. Seuls les ordinateurs analogiques peuvent exécuter des simulations véritablement continues. Dans de nombreux cas, cependant, les approches informatiques numériques basées sur une progression temporelle incrémentielle (avec des incréments fixes ou ajustés dynamiquement) pour discrétiser le temps en petits pas de temps fournissent des approximations satisfaisantes.

La simulation d'événements discrets , en revanche, modifie les variables d'état uniquement en réponse aux événements, généralement en utilisant la progression temporelle de l'événement suivant .

Les systèmes dynamiques continus ne peuvent être capturés que par un modèle de simulation continu, tandis que les systèmes dynamiques discrets peuvent être capturés soit de manière plus abstraite par un modèle de simulation continu (comme les équations de Lotka-Volterra pour modéliser un écosystème prédateur-proie) soit de manière plus réaliste par un modèle de simulation d'événements discrets (dans un écosystème prédateur-proie, les naissances, les décès et les rencontres prédateur-proie sont des événements discrets). En utilisant un modèle de simulation continue du système dynamique discret d'une population d'animaux, on peut obtenir des résultats comme 23,7 animaux, qui doivent d'abord être arrondis pour avoir un sens.

Dans l'exemple ci-contre, les ventes d'un certain produit au fil du temps sont présentées. L'utilisation d'une simulation à événements discrets nécessite qu'un événement se produise pour modifier le nombre de ventes. En revanche, la simulation continue présente une évolution régulière et régulière du nombre de ventes. Il convient de noter que les ventes sont des événements discrets qui s'accompagnent de changements d'état discrets. Une simulation continue des ventes implique la possibilité de ventes fractionnaires, par exemple 1/3 d'une vente. Pour cette raison, une simulation continue des ventes ne modélise pas fidèlement la réalité, mais peut néanmoins capturer approximativement la dynamique du système.

Les simulations continues sont basées sur un ensemble d'équations différentielles. Ces équations définissent la particularité des variables d'état, les facteurs environnementaux pour ainsi dire, d'un système. Ces paramètres d'un système changent de manière continue et modifient ainsi l'état de l'ensemble du système.

L'ensemble des équations différentielles peut être formulé dans un modèle conceptuel représentant le système à un niveau abstrait. Afin de développer le modèle conceptuel, deux approches sont envisageables :

• L' approche déductive : Le comportement du système découle de lois physiques qui peuvent être appliquées
• L' approche inductive : Le comportement du système découle du comportement observé d'un exemple

Un exemple largement connu de modèle de simulation conceptuelle continue est le « modèle prédateur-proie ».

Ce modèle est typique pour révéler la dynamique des populations. Tant que la population des proies augmente, la population des prédateurs augmente également, car ils ont suffisamment à manger. Mais très vite, la population des prédateurs devient trop importante, de sorte que la chasse dépasse la procréation des proies. Cela conduit à une diminution de la population des proies et, par conséquent, à une diminution de la population des prédateurs, car ils n'ont pas assez de nourriture pour nourrir toute la population.

Toute dynamique de population implique des événements de naissances et de décès et est donc fondamentalement un système dynamique discret. Cependant, la modélisation des changements d'état discrets à l'aide d'équations différentielles produit souvent des informations utiles. Une simulation continue de la dynamique de population représente une approximation ajustant efficacement une courbe à un ensemble fini de mesures/points.

Dans la simulation continue, la réponse temporelle continue d'un système physique est modélisée à l'aide d'EDO , intégrées dans un modèle conceptuel. La réponse temporelle d'un système physique dépend de son état initial. Le problème de résolution des EDO pour un état initial donné est appelé problème de valeur initiale.

Dans de très rares cas, ces EDO peuvent être résolues de manière analytique simple . Les EDO qui n'ont pas de solution analytique sont plus courantes. Dans ces cas, il faut utiliser des procédures d'approximation numérique .

Deux familles bien connues de méthodes pour résoudre les problèmes de valeur initiale sont :

• La famille Runge-Kutta
• La famille Linear Multistep .

Lors de l'utilisation de solveurs numériques, les propriétés suivantes du solveur doivent être prises en compte :

• la stabilité de la méthode
• la propriété de la méthode de rigidité
• la discontinuité de la méthode
• Remarques conclusives contenues dans la méthode et accessibles à l'utilisateur

Ces points sont essentiels au succès de l’utilisation d’une méthode.

La deuxième loi de Newton , F = m a , est un bon exemple de système continu à une seule EDO. Des méthodes d'intégration numérique telles que Runge Kutta ou Bulirsch-Stoer pourraient être utilisées pour résoudre ce système particulier d'EDO.

En couplant le solveur ODE avec d'autres opérateurs et méthodes numériques, un simulateur continu peut être utilisé pour modéliser de nombreux phénomènes physiques différents tels que

• dynamique de vol
• robotique
• suspensions automobiles
• hydraulique
• énergie électrique
• moteurs électriques
• respiration humaine
• fonte de la calotte glaciaire polaire
• centrales à vapeur
• machine à café
• etc.

Il n'y a pratiquement aucune limite aux types de phénomènes physiques qui peuvent être modélisés par un système d'EDO. Certains systèmes ne peuvent cependant pas avoir tous les termes dérivés spécifiés explicitement à partir d'entrées connues et d'autres sorties d'EDO. Ces termes dérivés sont définis implicitement par d'autres contraintes du système telles que la loi de Kirchhoff selon laquelle le flux de charge entrant dans une jonction doit être égal au flux sortant. Pour résoudre ces systèmes d'EDO implicites, un schéma itératif convergent tel que Newton-Raphson doit être utilisé.

Pour accélérer la création de simulations continues, vous pouvez utiliser des logiciels de programmation graphique tels que VisSim ou Simcad Pro . Ces logiciels offrent des options pour la méthode d'intégration, la taille du pas, la méthode d'optimisation, les inconnues et la fonction de coût, et permettent l'exécution conditionnelle de sous-systèmes pour accélérer l'exécution et éviter les erreurs numériques dans certains domaines. Ces logiciels de simulation graphique peuvent être exécutés en temps réel et utilisés comme outil de formation pour les gestionnaires et les opérateurs.

La simulation continue est trouvée

• à l'intérieur des stations Wii
• simulateurs de vol commerciaux
• pilotes automatiques d'avions à réaction
• outils de conception technique avancés

En effet, une grande partie de la technologie moderne dont nous bénéficions aujourd’hui ne serait pas possible sans la simulation continue.

• Simulation d'événements discrets
• Simulation par ordinateur
• Simulation de processus
• Simulation pédagogique
• Simulation sociale