Rapport de corrélation

En statistique , le coefficient de corrélation mesure la relation curviligne entre la dispersion statistique au sein de chaque catégorie et la dispersion au sein de l'ensemble de la population ou de l'échantillon. Il est défini comme le rapport de deux écarts-types représentant ces types de variation. Le contexte est ici identique à celui du coefficient de corrélation intraclasse , dont la valeur est le carré du coefficient de corrélation.

Définition

Supposons que chaque observation soit yi _{ = xi} , où x indique la catégorie à laquelle appartient l'observation et i est l'étiquette de l'observation particulière. Soit n _x le nombre d'observations dans la catégorie x .

{\displaystyle {\overline {y}}_{x}={\frac {\sum _{i}y_{xi}}{n_{x <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi></mrow></munder><msub><mi>y</mi><mrow><mi>x</mi><mi>je</mi></mrow></msub></mrow><msub><mi>n</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {y}}_{x}={\frac {\sum _{i}y_{xi}}{n_{x}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum _{x}n_{x}{\overline {y}}_{x}}{\sum _{x}n_{x}}}, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>x</mi></mrow></munder><msub><mi>n</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>x</mi></mrow></munder><msub><mi>n</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum _{x}n_{x}{\overline {y}}_{x}}{\sum _{x}n_{x}}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle {\overline {y}}_{x <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {y}}_{x}}</annotation></semantics></math><img src=$ x et ${\displaystyle {\overline {y <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {y}}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\sum _{x}n_{x}({\overline {y}}_{x}-{\overline {y}})^{2}}{\sum _{x,i}(y_{xi}-{\overline {y}})^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>η</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>x</mi></mrow></munder><msub><mi>n</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>je</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>x</mi><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\sum _{x}n_{x}({\overline {y}}_{x}-{\overline {y}})^{2}}{\sum _{x,i}(y_{xi}-{\overline {y}})^{2}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

qui peut s'écrire comme

{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {{\sigma _{\overline {y}}}^{2}}{{\sigma _{y}}^{2}}},{ ext{ where }}{\sigma _{\overline {y}}}^{2}={\frac {\sum _{x}n_{x}({\overline {y}}_{x}-{\overline {y}})^{2}}{\sum _{x}n_{x}}}{ ext{ and }}{\sigma _{y}}^{2}={\frac {\sum _{x,i}(y_{xi}-{\overline {y}})^{2}}{n}}, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>η</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mrow><msub><mi>σ</mi><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mtext> où </mtext></mrow><msup><mrow><msub><mi>σ</mi><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>x</mi></mrow></munder><msub><mi>n</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>x</mi></mrow></munder><msub><mi>n</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mrow><mtext> et </mtext></mrow><msup><mrow><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>je</mi></mrow></munder><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>x</mi><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>n</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {{\sigma _{\overline {y}}}^{2}}{{\sigma _{y}}^{2}}},{ ext{ where }}{\sigma _{\overline {y}}}^{2}={\frac {\sum _{x}n_{x}({\overline {y}}_{x}-{\overline {y}})^{2}}{\sum _{x}n_{x}}}{ ext{ and }}{\sigma _{y}}^{2}={\frac {\sum _{x,i}(y_{xi}-{\overline {y}})^{2}}{n}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

c'est-à-dire la variance pondérée des moyennes de catégorie divisée par la variance de tous les échantillons.

Si la relation entre les valeurs de ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{x <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {y}}_{x}}</annotation></semantics></math><img src=$ x ), on obtient le même résultat que le carré du coefficient de corrélation de Pearson ; sinon, le coefficient de corrélation sera plus élevé. Il peut donc servir à évaluer les relations non linéaires.

Gamme

Le rapport de corrélation ${\displaystyle \eta <semantics><mrow><mstyle><mi>η</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \eta =0 <semantics><mrow><mstyle><mi>η</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta =0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \eta =1 <semantics><mrow><mstyle><mi>η</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta =1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \eta <semantics><mrow><mstyle><mi>η</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta }</annotation></semantics></math><img src=$

Exemple

Supposons qu'il existe une distribution des scores aux tests dans trois thèmes (catégories) :

Algèbre : 45, 70, 29, 15 et 21 (5 points)
Géométrie : 40, 20, 30 et 42 (4 scores)
Statistiques : 65, 95, 80, 70, 85 et 73 (6 scores).

Les moyennes par matière sont alors de 36, 33 et 78, avec une moyenne générale de 52.

La somme des carrés des écarts par rapport aux moyennes par matière est de 1952 pour l'algèbre, 308 pour la géométrie et 600 pour les statistiques, soit un total de 2860. La somme des carrés des écarts par rapport à la moyenne générale est de 9640. La différence de 6780 entre ces valeurs correspond également à la somme pondérée des carrés des écarts entre les moyennes par matière et la moyenne générale.

{\displaystyle 5(36-52)^{2}+4(33-52)^{2}+6(78-52)^{2}=6780. <semantics><mrow><mstyle><mn>5</mn><mo>(</mo><mn>36</mn><mo>−</mo><mn>52</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>(</mo><mn>33</mn><mo>−</mo><mn>52</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><mo>(</mo><mn>78</mn><mo>−</mo><mn>52</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>6780.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 5(36-52)^{2}+4(33-52)^{2}+6(78-52)^{2}=6780.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cela donne

{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {6780}{9640}}=0.7033\ldots <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>η</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>6780</mn><mn>9640</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>0,7033</mn><mo>…</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {6780}{9640}}=0.7033\ldots }</annotation></semantics></math></span><img src=

ce qui suggère que la dispersion globale résulte principalement de différences entre les sujets, plutôt qu'au sein d'un même sujet. La racine carrée donne

{\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {6780}{9640}}}=0.8386\ldots . <semantics><mrow><mstyle><mi>η</mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mn>6780</mn><mn>9640</mn></mfrac></msqrt></mrow><mo>=</mo><mn>0,8386</mn><mo>…</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {6780}{9640}}}=0.8386\ldots .}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pour ${\displaystyle \eta =1 <semantics><mrow><mstyle><mi>η</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta =1}</annotation></semantics></math><img src=$

La limite ${\displaystyle \eta =0 <semantics><mrow><mstyle><mi>η</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta =0}</annotation></semantics></math><img src=$

Pearson contre Fisher

Le coefficient de corrélation a été introduit par Karl Pearson dans le cadre de l'analyse de la variance . Ronald Fisher a commenté :

« En tant que statistique descriptive, l'utilité du coefficient de corrélation est extrêmement limitée. On remarquera que le nombre de degrés de liberté au numérateur de ${\displaystyle \eta ^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>η</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta ^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

Ce à quoi Egon Pearson (le fils de Karl) a répondu en disant

« Une fois encore, une méthode établie de longue date comme l’utilisation du ratio de corrélation [§45 Le « ratio de corrélation » η] est passée sous silence en quelques mots sans description adéquate, ce qui est peut-être peu juste pour l’étudiant qui n’a pas la possibilité d’en juger lui-même la portée. »