Worldlex Wiki En théorie des probabilités et en statistique , la fonction de covariance décrit la variation conjointe de deux variables aléatoires (leur covariance ) en fonction de leur séparation spatiale ou temporelle. Pour un champ aléatoire ou un processus stochastique Z ( x ) sur un domaine D , une fonction de covariance C ( x , y ) donne la covariance des valeurs du champ aléatoire aux deux points x et y .
La même fonction C ( x , y ) est appelée fonction d'autocovariance dans deux cas : dans les séries temporelles (pour désigner exactement le même concept, sauf que x et y font référence à des emplacements dans le temps plutôt que dans l'espace), et dans les champs aléatoires multivariés (pour faire référence à la covariance d'une variable avec elle - même, par opposition à la covariance croisée entre deux variables différentes à des emplacements différents, Cov( Z ( x1 ), Y ( x2 ) )).
Admissibilité
Pour les emplacements x₁ , x₂ , ..., xₙ ∈ D , la variance de chaque combinaison linéaire
peut être calculé comme
Une fonction est une fonction de covariance valide si et seulement si cette variance est non négative pour tous les choix possibles de N et de poids w 1 , ..., w N . Une fonction avec cette propriété est dite semi-définie positive .
Simplifications avec stationnarité
Dans le cas d'un champ aléatoire faiblement stationnaire , où
Pour tout décalage h , la fonction de covariance peut être représentée par une fonction à un paramètre
ce que l'on appelle un covariogramme , également appelé fonction de covariance . Implicitement, C ( x <sub>i</sub> , x<sub> j</sub> ) peut être calculé à partir de C <sub>s</sub> ( h ) par :
La positivité définie de cette version à un seul argument de la fonction de covariance peut être vérifiée par le théorème de Bochner .
Familles paramétriques de fonctions de covariance
Pour une variance donnée , une fonction de covariance paramétrique stationnaire simple est la « fonction de covariance exponentielle ».
où V est un paramètre d'échelle (longueur de corrélation), et d = d ( x , y ) est la distance entre deux points. Les trajectoires d'un processus gaussien à fonction de covariance exponentielle ne sont pas lisses. La fonction de covariance « exponentielle au carré » (ou « gaussienne ») :
est une fonction de covariance stationnaire avec des trajectoires d'échantillon lisses.
La fonction de covariance de Matérn et la fonction de covariance quadratique rationnelle sont deux familles paramétriques de fonctions de covariance stationnaires. La famille de Matérn inclut les fonctions de covariance exponentielle et exponentielle au carré comme cas particuliers.