Déflexion (ingénierie)

En génie des structures , la déflexion est le degré auquel une partie d'un élément structurel long (comme une poutre ) est déformée latéralement (dans la direction transversale à son axe longitudinal) sous l'effet d'une charge . Elle peut être quantifiée en termes d'angle ( déplacement angulaire ) ou de distance ( déplacement linéaire ). Une déformation longitudinale (dans la direction de l'axe) est appelée allongement .

La distance de déflexion d'un élément sous une charge peut être calculée en intégrant la fonction qui décrit mathématiquement la pente de la forme fléchie de l'élément sous cette charge. Il existe des formules standard pour la déflexion des configurations de poutres courantes et des cas de charge à des emplacements discrets. Sinon, des méthodes telles que le travail virtuel , l'intégration directe , la méthode de Castigliano , la méthode de Macaulay ou la méthode de rigidité directe sont utilisées. La déflexion des éléments de poutre est généralement calculée sur la base de l' équation de poutre d'Euler-Bernoulli tandis que celle d'un élément de plaque ou de coque est calculée à l'aide de la théorie des plaques ou des coques .

Un exemple d'utilisation de la déflexion dans ce contexte est celui de la construction de bâtiments. Les architectes et les ingénieurs sélectionnent des matériaux pour diverses applications.

Déflexion de poutre pour diverses charges et supports

Les poutres peuvent varier considérablement en termes de géométrie et de composition. Par exemple, une poutre peut être droite ou courbée. Elle peut avoir une section transversale constante ou être conique. Elle peut être entièrement constituée du même matériau (homogène) ou être composée de matériaux différents (composite). Certains de ces éléments rendent l'analyse difficile, mais de nombreuses applications techniques impliquent des cas qui ne sont pas si compliqués. L'analyse est simplifiée si :

La poutre est à l'origine droite et toute conicité est légère
La poutre ne subit qu'une déformation élastique linéaire
La poutre est fine (son rapport longueur/hauteur est supérieur à 10)
Seules les petites déflexions sont prises en compte (déflexion maximale inférieure à 1/10 de la portée ).

Dans ce cas, l'équation régissant la déflexion de la poutre ( ) peut être approximée comme : où la seconde dérivée de sa forme fléchie par rapport à ( étant la position horizontale sur la longueur de la poutre) est interprétée comme sa courbure, est le module de Young , est le moment d'inertie de la section transversale et est le moment de flexion interne dans la poutre. ${\displaystyle w <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle w}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>w</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>I</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle E <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si, en outre, la poutre n'est pas conique et est homogène , et est soumise à une charge répartie , l'expression ci-dessus peut s'écrire comme suit : ${\displaystyle q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle EI~{\frac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>E</mi> <mi>I</mi> <mtext> </mtext> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>w</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle EI~{\frac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette équation peut être résolue pour une variété de conditions de chargement et de limites. Un certain nombre d'exemples simples sont présentés ci-dessous. Les formules exprimées sont des approximations développées pour des poutres prismatiques longues, fines, homogènes, avec de faibles déflexions et des propriétés élastiques linéaires. Sous ces restrictions, les approximations devraient donner des résultats à 5 % près de la déflexion réelle.

Poutres en porte-à-faux

Les poutres en porte-à-faux ont une extrémité fixe, de sorte que la pente et la déflexion à cette extrémité doivent être nulles.

Schéma de la déflexion d'une poutre en porte-à-faux.

Poutres en porte-à-faux à charge d'extrémité

La déflexion élastique et l'angle de déflexion (en radians ) à l'extrémité libre dans l'image d'exemple : Une poutre en porte-à-faux (sans poids) , avec une charge d'extrémité, peuvent être calculés (à l'extrémité libre B) en utilisant : où ${\displaystyle \delta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {FL^{3}}{3EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {FL^{2}}{2EI}}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {FL^{3}}{3EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {FL^{2}}{2EI}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Notez que si la portée double, la déflexion augmente de huit fois. La déflexion en tout point, , le long de la portée d'une poutre en porte-à-faux chargée en extrémité peut être calculée à l'aide de : ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Remarque : À (l'extrémité de la poutre), les équations et sont identiques aux équations et ci-dessus. ${\displaystyle x=L <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=L}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \delta _{x <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{x}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \phi _{x <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi _{x}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \delta _{B <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{B}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \phi _{B <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi _{B}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Poutres en porte-à-faux à charge uniforme

La déflexion, à l'extrémité libre B, d'une poutre en porte-à-faux sous une charge uniforme est donnée par : où ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {qL^{4}}{8EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {qL^{3}}{6EI}}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>q</mi> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>q</mi> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {qL^{4}}{8EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {qL^{3}}{6EI}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La déflexion en tout point, , le long de la portée d'une poutre en porte-à-faux uniformément chargée peut être calculée à l'aide de : ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {qx^{2}}{24EI}}\left(6L^{2}-4Lx+x^{2} ight)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {qx}{6EI}}\left(3L^{2}-3Lx+x^{2} ight)\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>q</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>24</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>6</mn> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>L</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>q</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mi>L</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {qx^{2}}{24EI}}\left(6L^{2}-4Lx+x^{2} ight)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {qx}{6EI}}\left(3L^{2}-3Lx+x^{2} ight)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Poutres à appui simple

Les poutres simplement appuyées ont des supports sous leurs extrémités qui permettent la rotation, mais pas la déflexion.

Schéma de la déflexion d'une poutre simplement appuyée.

Poutres simples à charge centrale

La déflexion en tout point, , le long de la portée d'une poutre simplement appuyée et chargée au centre peut être calculée à l'aide de : pour ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}\left(3L^{2}-4x^{2} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>48</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}\left(3L^{2}-4x^{2} ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo>≤</mo> <mrow> <mfrac> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le cas particulier de la déflexion élastique au point médian C d'une poutre, chargée en son centre, supportée par deux appuis simples est alors donné par : où ${\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>48</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Poutres simples à charge décentrée

La déflexion élastique maximale d'une poutre supportée par deux appuis simples, chargée à distance de l'appui le plus proche, est donnée par : où ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \delta _{ ext{max}}={\frac {Fa\left(L^{2}-a^{2} ight)^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mtext>max</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> <mrow> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <mi>L</mi> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{ ext{max}}={\frac {Fa\left(L^{2}-a^{2} ight)^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette déflexion maximale se produit à une certaine distance du support le plus proche et est donnée par : ${\displaystyle x_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Poutres simples chargées uniformément

La déflexion élastique (au point médian C) sur une poutre supportée par deux supports simples, sous une charge uniforme (comme illustré) est donnée par : où ${\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mi>q</mi> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>384</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La déflexion en tout point, , le long de la portée d'une poutre simplement appuyée et chargée uniformément peut être calculée à l'aide de : ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}\left(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>q</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>24</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>L</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}\left(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3} ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Charges combinées

La déflexion des poutres avec une combinaison de charges simples peut être calculée à l'aide du principe de superposition .

Changement de longueur

La variation de longueur de la poutre, projetée le long de la ligne de la poutre non chargée, peut être calculée en intégrant la fonction de pente, si la fonction de déflexion est connue pour tous . ${\displaystyle \Delta L <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Δ</mi> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Delta L}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta _{x <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta _{x}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \delta _{x <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{x}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Où:

Si la poutre est uniforme et que la déflexion en tout point est connue, cela peut être calculé sans connaître les autres propriétés de la poutre.

Unités

Les formules fournies ci-dessus nécessitent l'utilisation d'un ensemble cohérent d'unités. La plupart des calculs seront effectués dans le Système international d'unités (SI) ou dans les unités usuelles des États-Unis, bien qu'il existe de nombreux autres systèmes d'unités.

Système international (SI)

Force : newton ( ) ${\displaystyle \mathrm {N} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {N} }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Longueur : mètres ( ) ${\displaystyle \mathrm {m} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {m} }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Module d'élasticité : ${\displaystyle \mathrm {\frac {N}{m^{2}}} =\mathrm {Pa} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>P</mi> <mi>a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {\frac {N}{m^{2}}} =\mathrm {Pa} }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Moment d'inertie : ${\displaystyle \mathrm {m^{4}} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {m^{4}} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Unités de mesure américaines (US)

Force : livres-force ( ) ${\displaystyle \mathrm {lbf} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>l</mi> <mi>b</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {lbf} }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Longueur : pouces ( ) ${\displaystyle \mathrm {in} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {in} }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Module d'élasticité : ${\displaystyle \mathrm {\frac {lbf}{in^{2}}} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>l</mi> <mi>b</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {\frac {lbf}{in^{2}}} }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Moment d'inertie : ${\displaystyle \mathrm {in^{4}} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {in^{4}} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Autres

D'autres unités peuvent également être utilisées, à condition qu'elles soient cohérentes entre elles. Par exemple, l' unité kilogramme-force ( ) est parfois utilisée pour mesurer les charges. Dans un tel cas, le module d'élasticité doit être converti en . ${\displaystyle \mathrm {kgf} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>k</mi> <mi>g</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {kgf} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathrm {\frac {kgf}{m^{2}}} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mi>g</mi> <mi>f</mi> </mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {\frac {kgf}{m^{2}}} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Déformation structurelle

Les codes du bâtiment déterminent la déflexion maximale, généralement exprimée en fraction de la portée, par exemple 1/400 ou 1/600. L'état limite de résistance (contrainte admissible) ou l'état limite de service (considérations relatives à la déflexion, entre autres) peuvent régir les dimensions minimales de l'élément requis.

La déflexion doit être prise en compte en fonction de la structure. Lors de la conception d'un cadre en acier destiné à supporter un panneau vitré, on ne doit autoriser qu'une déflexion minimale pour éviter la rupture du verre.

La forme fléchie d'une poutre peut être représentée par le diagramme de moment , intégré (deux fois, tourné et translaté pour renforcer les conditions d'appui).