Alexandre Friedmann Les équations de Friedmann , également connues sous le nom d' équations de Friedmann-Lemaître ( FL ) , sont un ensemble d' équations de cosmologie physique q...
Les équations de Friedmann partent de l'hypothèse simplificatrice que l'univers est spatialement homogène et isotrope , c'est-à-dire le principe cosmologique ; empiriquement, cela se justifie à des échelles supérieures à l'ordre de 100 Mpc . Le principe cosmologique implique que la métrique de l'univers doit être de la forme où d s 3 2 est une métrique tridimensionnelle qui doit être l'une des suivantes : (a) un espace plat, (b) une sphère de courbure positive constante ou (c) un espace hyperbolique de courbure négative constante. Cette métrique est appelée métrique de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW). Le paramètre k discuté ci-dessous prend la valeur 0, 1, −1, ou la courbure gaussienne , dans ces trois cas respectivement. C'est ce fait qui nous permet de parler raisonnablement d'un « facteur d'échelle » a ( t ) .
Les équations d'Einstein relient maintenant l'évolution de ce facteur d'échelle à la pression et à l'énergie de la matière dans l'univers. À partir de la métrique FLRW, nous calculons les symboles de Christoffel , puis le tenseur de Ricci . Avec le tenseur contrainte-énergie pour un fluide parfait, nous les substituons dans les équations de champ d'Einstein et les équations résultantes sont décrites ci-dessous.
Équations
Il existe deux équations de Friedmann indépendantes permettant de modéliser un univers homogène et isotrope. La première est : qui est dérivée de la composante 00 des équations de champ d'Einstein . La seconde est : qui est dérivée de la première avec la trace des équations de champ d'Einstein (la dimension des deux équations est le temps −2 ).
Dans les équations précédentes, a , ρ et p sont des fonctions du temps .k/un 2 est la courbure spatiale dans n'importe quelle tranche de temps de l'univers ; elle est égale à un sixième du scalaire de courbure spatiale de Ricci R puisque dans le modèle de Friedmann. H ≡
Nous voyons que dans les équations de Friedmann, a ( t ) ne dépend pas du système de coordonnées que nous avons choisi pour les tranches spatiales. Il existe deux choix couramment utilisés pour a et k qui décrivent la même physique :
k = +1, 0 ou −1 selon que la forme de l'univers est une sphère fermée , plate ( espace euclidien ) ou un hyperboloïde ouvert , respectivement. Si k = +1 , alors a est le rayon de courbure de l'univers. Si k = 0 , alors a peut être fixé à n'importe quel nombre positif arbitraire à un instant donné. Si k = −1 , alors (en gros) on peut dire que i · a est le rayon de courbure de l'univers.
a est le facteur d'échelle qui est considéré comme étant égal à 1 à l'heure actuelle. k est la courbure spatiale actuelle (lorsque a = 1 ). Si la forme de l'univers est hypersphérique et R t est le rayon de courbure ( R 0 à l'heure actuelle), alors a = R t/R 0 . Si k est positif, alors l'univers est hypersphérique. Si k = 0 , alors l'univers est plat . Si k est négatif, alors l'univers est hyperbolique .
En utilisant la première équation, la deuxième équation peut être réexprimée comme qui élimine Λ et exprime la conservation de la masse–énergie :
Ces équations sont parfois simplifiées en remplaçant pour donner :
La forme simplifiée de la deuxième équation est invariante sous cette transformation.
Le paramètre de Hubble peut changer au cours du temps si d'autres parties de l'équation dépendent du temps (en particulier la masse volumique, l'énergie du vide ou la courbure spatiale). L'évaluation du paramètre de Hubble à l'heure actuelle donne la constante de Hubble qui est la constante de proportionnalité de la loi de Hubble . Appliquées à un fluide avec une équation d'état donnée , les équations de Friedmann donnent l'évolution temporelle et la géométrie de l'univers en fonction de la masse volumique du fluide.
Certains cosmologistes appellent la seconde de ces deux équations l' équation d'accélération de Friedmann et réservent le terme équation de Friedmann uniquement à la première équation.
Paramètre de densité
Le paramètre de densité Ω est défini comme le rapport entre la densité réelle (ou observée) ρ et la densité critique ρ c de l'univers de Friedmann. La relation entre la densité réelle et la densité critique détermine la géométrie globale de l'univers ; lorsqu'elles sont égales, la géométrie de l'univers est plate (euclidienne). Dans les modèles antérieurs, qui n'incluaient pas de terme de constante cosmologique , la densité critique était initialement définie comme le point de partage des eaux entre un univers en expansion et un univers en contraction.
À ce jour, la densité critique est estimée à environ cinq atomes (d' hydrogène monoatomique ) par mètre cube, alors que la densité moyenne de la matière ordinaire dans l'Univers est estimée à 0,2 à 0,25 atome par mètre cube.
Distribution relative estimée des composantes de la densité énergétique de l'univers. L'énergie noire domine l'énergie totale (74 %) tandis que la matière noire (22 %) constitue la majeure partie de la masse. De la matière baryonique restante (4 %), seul un dixième est compact. En février 2015, l'équipe de recherche dirigée par des Européens à l'origine de la sonde cosmologique Planck a publié de nouvelles données affinant ces valeurs à 4,9 % de matière ordinaire, 25,9 % de matière noire et 69,1 % d'énergie noire.
La matière noire, non identifiée, est beaucoup plus dense , bien que la matière ordinaire et la matière noire contribuent toutes deux à la contraction de l'univers. Cependant, la plus grande partie provient de ce qu'on appelle l'énergie noire , qui représente le terme de constante cosmologique. Bien que la densité totale soit égale à la densité critique (exactement, à l'erreur de mesure près), l'énergie noire ne conduit pas à la contraction de l'univers mais peut plutôt accélérer son expansion.
On obtient une expression de la densité critique en supposant que Λ est nul (comme c'est le cas pour tous les univers de base de Friedmann) et en fixant la courbure spatiale normalisée, k , à zéro. Lorsque les substitutions sont appliquées à la première des équations de Friedmann, on trouve :
(où h = H 0 /(100 km/s/Mpc) . Pour H o = 67,4 km/s/Mpc , soit h = 0,674 , ρ c =8,5 × 10 −27 kg/m 3 ).
Le paramètre de densité (utile pour comparer différents modèles cosmologiques) est alors défini comme :
Ce terme était à l'origine utilisé pour déterminer la géométrie spatiale de l'univers, où ρ c est la densité critique pour laquelle la géométrie spatiale est plate (ou euclidienne). En supposant une densité d'énergie du vide nulle, si Ω est supérieur à l'unité, les sections spatiales de l'univers sont fermées ; l'univers finira par cesser de s'étendre, puis s'effondrera. Si Ω est inférieur à l'unité, elles sont ouvertes ; et l'univers s'étend à l'infini. Cependant, on peut aussi subsumer les termes de courbure spatiale et d'énergie du vide dans une expression plus générale pour Ω , auquel cas ce paramètre de densité est exactement égal à l'unité. Il s'agit alors de mesurer les différentes composantes, généralement désignées par des indices. Selon le modèle ΛCDM , il existe des composantes importantes de Ω dues aux baryons , à la matière noire froide et à l'énergie noire . La géométrie spatiale de l' univers a été mesurée par le vaisseau spatial WMAP comme étant presque plate. Cela signifie que l'univers peut être bien approximé par un modèle où le paramètre de courbure spatiale k est nul ; Cependant, cela n’implique pas nécessairement que l’univers soit infini : il se pourrait simplement que l’univers soit beaucoup plus grand que la partie que nous voyons.
La première équation de Friedmann est souvent vue en termes de valeurs actuelles des paramètres de densité, c'est-à-dire Ici, Ω 0,R est la densité de rayonnement aujourd'hui (quand a = 1 ), Ω 0,M est la densité de matière ( sombre plus baryonique ) aujourd'hui, Ω 0, k = 1 − Ω 0 est la « densité de courbure spatiale » aujourd'hui, et Ω 0,Λ est la constante cosmologique ou densité du vide aujourd'hui.
Des solutions utiles
Les équations de Friedmann peuvent être résolues exactement en présence d'un fluide parfait avec une équation d'état où p est la pression , ρ est la densité massique du fluide dans le référentiel comobile et w est une constante.
Dans le cas spatialement plat ( k = 0 ), la solution pour le facteur d'échelle est où a 0 est une constante d'intégration à fixer par le choix des conditions initiales. Cette famille de solutions étiquetée par w est extrêmement importante pour la cosmologie. Par exemple, w = 0 décrit un univers dominé par la matière , où la pression est négligeable par rapport à la densité de masse. À partir de la solution générique, on voit facilement que dans un univers dominé par la matière, le facteur d'échelle est dominé par la matière. Un autre exemple important est le cas d'un univers dominé par le rayonnement , à savoir lorsque w =
Notons que cette solution n'est pas valable pour une domination de la constante cosmologique, qui correspond à un w = −1 . Dans ce cas, la densité énergétique est constante et le facteur d'échelle croît de manière exponentielle.
Des solutions pour d'autres valeurs de k peuvent être trouvées dans Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics" 2022 .
Mélanges
Si la matière est un mélange de deux ou plusieurs fluides non interactifs ayant chacun une telle équation d'état, alors f est valable séparément pour chacun de ces fluides . Dans chaque cas, d'où nous obtenons
Par exemple, on peut former une combinaison linéaire de tels termes où A est la densité de la « poussière » (matière ordinaire, w = 0 ) lorsque a = 1 ; B est la densité du rayonnement ( w =
Dérivation détaillée
Pour rendre les solutions plus explicites, nous pouvons dériver les relations complètes de la première équation de Friedmann : avec
Réorganiser et modifier pour utiliser les variables a ′ et t ′ pour l'intégration
Il est possible de trouver des solutions pour la dépendance du facteur d'échelle par rapport au temps pour les univers dominés par chaque composante. Dans chacun d'eux, nous avons également supposé que Ω 0, k ≈ 0 , ce qui revient à supposer que la source dominante de densité d'énergie est approximativement 1.
Pour les univers dominés par la matière, où Ω 0,M ≫ Ω 0,R et Ω 0, Λ , ainsi que Ω 0,M ≈ 1 : qui récupère le a ∝ t 2/3 susmentionné
Pour les univers dominés par les radiations, où Ω 0,R ≫ Ω 0,M et Ω 0,Λ , ainsi que Ω 0,R ≈ 1 :
Pour les univers dominés par Λ , où Ω 0, Λ ≫ Ω 0,R et Ω 0,M , ainsi que Ω 0, Λ ≈ 1 , et où nous allons maintenant changer nos bornes d'intégration de t i à t et de même a i à a :
La solution de l'univers dominé par Λ est particulièrement intéressante car la seconde dérivée par rapport au temps est positive, non nulle ; en d'autres termes, elle implique une expansion accélérée de l'univers, faisant de ρ Λ un candidat pour l'énergie noire :
Où par construction a i > 0 , nos hypothèses étaient Ω 0, Λ ≈ 1 et H 0 a été mesuré comme étant positif, forçant l'accélération à être supérieure à zéro.
Dans la culture populaire
Plusieurs étudiants de l'université Tsinghua ( l'alma mater du leader du PCC Xi Jinping ) participant aux manifestations contre le COVID-19 en Chine en 2022 portaient des pancartes sur lesquelles étaient griffonnées des équations de Friedmann, interprétées par certains comme un jeu de mots sur l'expression « homme libre ». D'autres ont interprété l'utilisation des équations comme un appel à « ouvrir » la Chine et à mettre un terme à sa politique « Zéro Covid », car les équations de Friedmann se rapportent à l'expansion ou à « l'ouverture » de l'univers.
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