Différences entre polynômes

En mathématiques , dans le domaine de l'analyse complexe , les polynômes de différences générales sont une séquence de polynômes , une certaine sous-classe des polynômes de Sheffer , qui incluent les polynômes de Newton , les polynômes de Selberg et les polynômes d'interpolation de Stirling comme cas particuliers.

Définition

La séquence générale de polynômes de différence est donnée par

{\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>j</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est le coefficient binomial . Pour , les polynômes générés sont les polynômes de Newton ${\displaystyle {z \choose n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>j</mi> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {z \choisir n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta =0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta =0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{n}(z) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{n}(z)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>j</mi> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>j</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>⋯</mo> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le cas de génère les polynômes de Selberg, et le cas de génère les polynômes d'interpolation de Stirling. ${\displaystyle \beta =1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta =1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta =-1/2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta =-1/2}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Différences en mouvement

Étant donnée une fonction analytique , définir la différence mobile de f comme ${\displaystyle f(z) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(z)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>Δ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>β</mi> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est l' opérateur de différence directe . Alors, à condition que f obéisse à certaines conditions de sommabilité, il peut être représenté en termes de ces polynômes comme ${\displaystyle \Delta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Delta }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les conditions de sommabilité (c'est-à-dire de convergence) pour cette suite sont un sujet assez complexe ; en général, on peut dire qu'une condition nécessaire est que la fonction analytique soit de type inférieur à exponentiel . Les conditions de sommabilité sont discutées en détail dans Boas & Buck.

Fonction génératrice

La fonction génératrice des polynômes de différence générale est donnée par

{\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1 ight)e^{\beta t} ight]^{n}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\gauche[\gauche(e^{t}-1\droite)e^{\beta t}\droite]^{n}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cette fonction génératrice peut être amenée sous la forme de la représentation d'Appell généralisée

{\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mi>Ψ</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

en définissant , , et . ${\displaystyle A(w)=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A(w)=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Psi (x)=e^{x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ψ</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g(w)=t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g(w)=t}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}</annotation> </semantics> </math><img src=$