Orbite elliptique

En astrodynamique ou mécanique céleste , une orbite elliptique ou orbite elliptique est une orbite de Kepler avec une excentricité inférieure à 1 ; cela inclut le cas particulier d'une orbite circulaire , avec une excentricité égale à 0. Au sens strict, il s'agit d'une orbite de Kepler avec une excentricité supérieure à 0 et inférieure à 1 (excluant ainsi l'orbite circulaire). Au sens large, il s'agit d'une orbite de Kepler à énergie négative . Cela inclut l' orbite elliptique radiale , avec une excentricité égale à 1. Elles sont fréquemment utilisées lors de divers calculs astrodynamiques.

Dans un problème gravitationnel à deux corps avec une énergie négative , les deux corps suivent des orbites elliptiques similaires avec la même période orbitale autour de leur barycentre commun . La position relative d'un corps par rapport à l'autre suit également une orbite elliptique.

Les orbites de transfert de Hohmann , les orbites de Molniya et les orbites de toundra sont des exemples d'orbites elliptiques .

Selon les hypothèses standard, aucune autre force n'agit à l'exception de deux corps sphériquement symétriques et , la vitesse orbitale ( ) d'un corps se déplaçant le long d'une orbite elliptique peut être calculée à partir de l' équation de vis-viva comme suit :

où:

L'équation de vitesse pour une trajectoire hyperbolique a soit , soit elle est la même avec la convention que dans ce cas est négative.

Selon les hypothèses standard, la période orbitale ( ) d'un corps se déplaçant le long d'une orbite elliptique peut être calculée comme suit :

où:

Conclusions :

• La période orbitale est égale à celle d'une orbite circulaire dont le rayon orbital est égal au demi-grand axe ( ),
• Pour un demi-grand axe donné, la période orbitale ne dépend pas de l'excentricité (Voir aussi : Troisième loi de Kepler ).

Dans les hypothèses standard, l' énergie orbitale spécifique ( ) d'une orbite elliptique est négative et l'équation de conservation de l'énergie orbitale ( équation de Vis-viva ) pour cette orbite peut prendre la forme :

où:

Conclusions :

• Pour un demi-grand axe donné, l'énergie orbitale spécifique est indépendante de l'excentricité.

En utilisant le théorème du viriel pour trouver :

• la moyenne temporelle de l'énergie potentielle spécifique est égale à −2ε
  • la moyenne temporelle de r ⁻¹ est a ⁻¹
• la moyenne temporelle de l'énergie cinétique spécifique est égale à ε

Il peut être utile de connaître l'énergie en termes de demi-grand axe (et les masses impliquées). L'énergie totale de l'orbite est donnée par

où a est le demi-grand axe.

La gravité étant une force centrale, le moment angulaire est constant :

Aux approches les plus proches et les plus éloignées, le moment angulaire est perpendiculaire à la distance de la masse en orbite, donc :

L'énergie totale de l'orbite est donnée par

En remplaçant v, l'équation devient

Ceci est vrai pour r étant la distance la plus proche / la plus éloignée, donc deux équations simultanées sont créées, qui, une fois résolues pour E :

Puisque et , où epsilon est l’excentricité de l’orbite, le résultat énoncé est atteint.

L'angle de trajectoire de vol est l'angle entre le vecteur vitesse du corps en orbite (égal au vecteur tangent à l'orbite instantanée) et l'horizontale locale. Sous les hypothèses standard de conservation du moment angulaire, l'angle de trajectoire de vol satisfait l'équation :

où:

où est l'excentricité.

Le moment angulaire est lié au produit vectoriel de la position et de la vitesse, qui est proportionnel au sinus de l'angle entre ces deux vecteurs. Il est ici défini comme l'angle qui diffère de 90 degrés de celui-ci, de sorte que le cosinus apparaît à la place du sinus.

Une équation d'orbite définit la trajectoire d'un corps en orbite autour d'un corps central par rapport à , sans spécifier de position en fonction du temps. Si l'excentricité est inférieure à 1, l'équation de mouvement décrit une orbite elliptique. Étant donné que l'équation de Kepler n'a pas de solution générale sous forme fermée pour l' anomalie excentrique (E) en termes d'anomalie moyenne (M), les équations de mouvement en fonction du temps n'ont pas non plus de solution sous forme fermée (bien qu'il existe des solutions numériques pour les deux).

Cependant, les équations de trajectoire indépendantes du temps et sous forme fermée d'une orbite elliptique par rapport à un corps central peuvent être déterminées uniquement à partir d'une position initiale ( ) et d'une vitesse ( ).

Dans ce cas, il est pratique d’utiliser les hypothèses suivantes qui diffèrent quelque peu des hypothèses standard ci-dessus :

1. La position du corps central est à l'origine et constitue le foyer principal ( ) de l'ellipse (alternativement, le centre de masse peut être utilisé à la place si le corps en orbite a une masse importante)
2. La masse du corps central (m1) est connue
3. La position initiale ( ) et la vitesse ( ) du corps en orbite sont connues
4. L'ellipse se trouve dans le plan XY

La quatrième hypothèse peut être formulée sans perte de généralité car trois points (ou vecteurs) doivent se trouver dans un plan commun. Selon ces hypothèses, le deuxième foyer (parfois appelé foyer « vide ») doit également se trouver dans le plan XY : .

L'équation générale d'une ellipse sous ces hypothèses utilisant des vecteurs est :

où:

La longueur du demi-grand axe (a) peut être calculée comme :

où est le paramètre gravitationnel standard .

Le focus vide ( ) peut être trouvé en déterminant d'abord le vecteur d'excentricité :

Où est le moment angulaire spécifique du corps en orbite :

Alors

Cela peut être fait en coordonnées cartésiennes en utilisant la procédure suivante :

L'équation générale d'une ellipse sous les hypothèses ci-dessus est :

Donné:

et

Alors:

Enfin, les coordonnées de mise au point vides

Les valeurs de résultat fx, fy et a peuvent maintenant être appliquées à l’équation d’ellipse générale ci-dessus.

L'état d'un corps en orbite à un instant donné est défini par la position et la vitesse du corps en orbite par rapport au corps central, qui peuvent être représentées par les coordonnées cartésiennes tridimensionnelles (position du corps en orbite représentée par x, y et z) et les composantes cartésiennes similaires de la vitesse du corps en orbite. Cet ensemble de six variables, ainsi que le temps, sont appelés vecteurs d'état orbital . Étant donné les masses des deux corps, ils déterminent l'orbite complète. Les deux cas les plus généraux avec ces 6 degrés de liberté sont l'orbite elliptique et l'orbite hyperbolique. Les cas particuliers avec moins de degrés de liberté sont l'orbite circulaire et l'orbite parabolique.

Étant donné qu'au moins six variables sont absolument nécessaires pour représenter complètement une orbite elliptique avec cet ensemble de paramètres, six variables sont alors nécessaires pour représenter une orbite avec n'importe quel ensemble de paramètres. Un autre ensemble de six paramètres couramment utilisés sont les éléments orbitaux .

Dans le système solaire , les planètes , les astéroïdes , la plupart des comètes et certains débris spatiaux ont des orbites approximativement elliptiques autour du Soleil. Strictement parlant, les deux corps gravitent autour du même foyer de l'ellipse, celui le plus proche du corps le plus massif, mais lorsqu'un corps est significativement plus massif, comme le Soleil par rapport à la Terre, le foyer peut être contenu dans le corps le plus massif, et donc le plus petit est censé tourner autour de lui. Le graphique suivant du périhélie et de l'aphélie des planètes , des planètes naines et de la comète de Halley montre la variation de l'excentricité de leurs orbites elliptiques. Pour des distances similaires au Soleil, les barres plus larges indiquent une plus grande excentricité. Notez l'excentricité presque nulle de la Terre et de Vénus par rapport à l'énorme excentricité de la comète de Halley et d'Éris .

Une trajectoire radiale peut être un segment de droite double , qui est une ellipse dégénérée avec un demi-petit axe = 0 et une excentricité = 1. Bien que l'excentricité soit de 1, il ne s'agit pas d'une orbite parabolique. La plupart des propriétés et formules des orbites elliptiques s'appliquent. Cependant, l'orbite ne peut pas être fermée. Il s'agit d'une orbite ouverte correspondant à la partie de l'ellipse dégénérée à partir du moment où les corps se touchent et s'éloignent l'un de l'autre jusqu'à ce qu'ils se touchent à nouveau. Dans le cas de masses ponctuelles, une orbite complète est possible, commençant et se terminant par une singularité. Les vitesses au début et à la fin sont infinies dans des directions opposées et l'énergie potentielle est égale à moins l'infini.

La trajectoire elliptique radiale est la solution d'un problème à deux corps avec à un instant donné une vitesse nulle, comme dans le cas de la chute d'un objet (en négligeant la résistance de l'air).

Les Babyloniens furent les premiers à se rendre compte que le mouvement du Soleil le long de l' écliptique n'était pas uniforme, bien qu'ils ne sachent pas pourquoi ; on sait aujourd'hui que cela est dû au fait que la Terre se déplace sur une orbite elliptique autour du Soleil, la Terre se déplaçant plus rapidement lorsqu'elle est plus proche du Soleil au périhélie et plus lentement lorsqu'elle est plus éloignée à l'aphélie .

Au XVIIe siècle, Johannes Kepler a découvert que les orbites des planètes autour du Soleil sont des ellipses dont le Soleil est le foyer, et il a décrit ce phénomène dans sa première loi du mouvement planétaire . Plus tard, Isaac Newton a expliqué cela comme un corollaire de sa loi de la gravitation universelle .