Worldlex Wiki En mathématiques , une somme vide , ou somme nulle , est une somme dont le nombre de termes est nul. La manière naturelle d'étendre les sommes non vides est de laisser la somme vide être l' identité additive .
Soit , , , ... une suite de nombres, et soit
soit la somme des m premiers termes de la séquence. Cela satisfait la récurrence
à condition d'utiliser la convention naturelle suivante : . En d'autres termes, une « somme » avec un seul terme est évaluée à ce terme, tandis qu'une « somme » sans terme est évaluée à 0. Autoriser une « somme » avec seulement 1 ou 0 terme réduit le nombre de cas à considérer dans de nombreuses formules mathématiques. De telles « sommes » sont des points de départ naturels dans les preuves par induction , ainsi que dans les algorithmes. Pour ces raisons, l'extension « la somme vide est nulle » est une pratique courante en mathématiques et en programmation informatique (en supposant que le domaine ait un élément nul ). Pour la même raison, le produit vide est considéré comme l' identité multiplicative .
Pour les sommes d'autres objets (tels que les vecteurs , les matrices , les polynômes ), la valeur d'une sommation vide est considérée comme son identité additive .
Exemples
Combinaisons linéaires vides
En algèbre linéaire , une base d'un espace vectoriel V est un sous-ensemble linéairement indépendant B tel que tout élément de V soit une combinaison linéaire de B. La convention de somme vide permet à l'espace vectoriel de dimension zéro V ={0} d'avoir une base, à savoir l'ensemble vide.