Transformation de Gabor

La transformée de Gabor , du nom de Dennis Gabor , est un cas particulier de la transformée de Fourier à court terme . Elle permet de déterminer la fréquence sinusoïdale et le contenu en phase de portions locales d'un signal au cours du temps. La fonction à transformer est d'abord multipliée par une fonction gaussienne , que l'on peut considérer comme une fonction de fenêtre , puis la fonction résultante est transformée par une transformée de Fourier pour obtenir l' analyse temps-fréquence . La fonction de fenêtre confère un poids plus important aux signaux proches de l'instant analysé. La transformée de Gabor d'un signal x ( t ) est définie par la formule suivante :

{\displaystyle G_{x}( au ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t- au )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>G</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>π</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>τ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>j</mi><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G_{x}( au,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t- au)^{2}}e^{-j\omega t}\,dt}</annotation></semantics></math></span><img src=

La fonction gaussienne a une plage de valeurs infinie, ce qui la rend difficile à mettre en œuvre. Cependant, on peut choisir un seuil de signification (par exemple 0,00001) pour sa distribution.

{\displaystyle {\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a ight|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a ight|>1.9143\end{cases <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mrow><mi>π</mi></mrow><msup><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup><mo>≥</mo><mn>0,00001</mn><mo>;</mo></mtd><mtd><mrow><mo>|</mo><mi>un</mi><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mn>1,9143</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mrow><mi>π</mi></mrow><msup><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup><mo><</mo><mn>0,00001</mn><mo>;</mo></mtd><mtd><mrow><mo>|</mo><mi>un</mi><mo>|</mo></mrow><mo>></mo><mn>1,9143</mn></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a ight|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a ight|>1.9143\end{cases}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

En dehors de ces limites d' intégration ( $1.9143 | un | > 1,9143$ 1.9143 ) la fonction gaussienne est suffisamment petite pour être négligée. Ainsi, la transformée de Gabor peut être approximée de manière satisfaisante par

{\displaystyle G_{x}( au ,\omega )=\int _{-1.9143+ au }^{1.9143+ au }x(t)e^{-\pi (t- au )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>G</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1,9143</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn>1,9143</mn><mo>+</mo><mi>τ</mi></mrow></msubsup><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>π</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>τ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>j</mi><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G_{x}( au,\omega )=\int _{-1.9143+ au }^{1.9143+ au }x(t)e^{-\pi (t- au )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cette simplification rend la transformation de Gabor pratique et réalisable.

La largeur de la fonction de fenêtre peut également être modifiée pour optimiser le compromis entre résolution temps-fréquence pour une application particulière en remplaçant ${\displaystyle {-{\pi }(t- au )^{2 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>−</mo><mrow><mi>π</mi></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>τ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {-{\pi }(t- au)^{2}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {-{\pi }\alpha (t- au )^{2 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>−</mo><mrow><mi>π</mi></mrow><mi>α</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>τ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {-{\pi }\alpha (t- au)^{2}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$

Transformation de Gabor inverse

La transformée de Gabor est inversible. Étant surcomplète, le signal original peut être reconstitué de diverses manières. Par exemple, la méthode de « dépliage » peut être utilisée pour tout signal. ${\displaystyle au _{0}\in (-\infty ,\infty ) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>∈</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>∞</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle tau _ {0} in (- infty, infty)}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle x(t)=e^{\pi (t- au _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}( au _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>π</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msub><mi>G</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(t)=e^{\pi (t- au _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}( au _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega }</annotation></semantics></math></span><img src=

Il est également possible de combiner tous les composants temporels :

{\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}( au ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega \,d au <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msub><mi>G</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>,</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>ω</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}( au,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega \,d au }</annotation></semantics></math></span><img src=

Propriétés de la transformation de Gabor

La transformée de Gabor possède de nombreuses propriétés similaires à celles de la transformée de Fourier. Ces propriétés sont répertoriées dans les tableaux suivants.

Application et exemple

L'application principale de la transformée de Gabor est l' analyse temps-fréquence . Prenons la fonction suivante comme exemple. Le signal d'entrée possède une composante de fréquence de 1 Hz lorsque t ≤ 0 et une composante de fréquence de 2 Hz lorsque t > 0.

0.\end{cases x (t) = {\begin{matrix} \cos (2 π t) & pour t \leq 0, \\ \cos (4 π t) & pour t > 0. \end{matrix}

0.\end{cases

Cependant, si la bande passante totale disponible est de 5 Hz, toutes les bandes de fréquences, à l'exception de x ( t ), sont inutilisées. L'analyse temps-fréquence par transformée de Gabor permet de déterminer la bande passante disponible et d'utiliser ces bandes de fréquences pour d'autres applications, optimisant ainsi la bande passante. L'image de droite illustre le signal d'entrée x ( t ) et le résultat de la transformée de Gabor. Comme prévu, la distribution de fréquence se divise en deux parties : t ≤ 0 et t > 0. La partie blanche correspond à la bande de fréquences occupée par x ( t ), tandis que la partie noire est inutilisée. Il est à noter qu'à chaque instant, on observe une composante de fréquence négative (partie blanche supérieure) et une composante de fréquence positive (partie blanche inférieure).

Transformation de Gabor discrète

Une version discrète de la représentation de Gabor

{\displaystyle y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)}</annotation></semantics></math></span><img src=

avec ${\displaystyle g_{nm}(t)=s(t-m au _{0})\cdot e^{j\Omega nt <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>m</mi><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>⋅</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>j</mi><mi>Ω</mi><mi>n</mi><mi>t</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{nm}(t)=s(t-m au _{0})\cdot e^{j\Omega nt}}</annotation></semantics></math><img src=$

On peut facilement obtenir cette expression en discrétisant la fonction de base de Gabor dans ces équations. Le paramètre continu t est alors remplacé par le temps discret k . De plus, il faut tenir compte de la limite de sommation finie dans la représentation de Gabor. Ainsi , le signal échantillonné y ( k ) est divisé en M intervalles de temps de longueur N. ${\displaystyle \Omega \leq { frac {2\pi }{ au _{0 <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi><mo>≤</mo><mrow><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><msub><mi>τ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mfrac></mstyle></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega \leq { frac {2\pi }{ au _{0}}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega ={ frac {2\pi }{N <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi><mo>=</mo><mrow><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mi>N</mi></mfrac></mstyle></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega ={ frac {2\pi }{N}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Semblable à la DFT (transformation de Fourier discrète), on obtient une division du domaine fréquentiel en N partitions discrètes. Une transformation inverse de ces N partitions spectrales conduit alors à N valeurs y ( k ) pour la fenêtre temporelle, composée de N valeurs d'échantillon. Pour un total de M fenêtres temporelles avec N valeurs d'échantillon, chaque signal y ( k ) contient K = N ${\displaystyle \cdot <semantics><mrow><mstyle><mo>⋅</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdot }</annotation></semantics></math><img src=$ Valeurs de l'échantillon M : (représentation discrète de Gabor)

{\displaystyle y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k) <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><msub><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)}</annotation></semantics></math></span><img src=

avec ${\displaystyle g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mi>m</mi><mi>N</mi><mo>)</mo><mo>⋅</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>j</mi><mi>Ω</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}}</annotation></semantics></math><img src=$

Selon l'équation ci-dessus, le N ${\displaystyle \cdot <semantics><mrow><mstyle><mo>⋅</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdot }</annotation></semantics></math><img src=$ Coefficients M ${\displaystyle C_{nm <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{nm}}</annotation></semantics></math><img src=$ K du signal.

Pour le suréchantillonnage ${\displaystyle \Omega <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega \leq { frac {2\pi }{N}}={ frac {2\pi }{N^{\prime <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi><mo>≤</mo><mrow><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mi>N</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo>=</mo><mrow><mstyle><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><msup><mi>N</mi><mrow><mi>′</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega \leq { frac {2\pi }{N}}={ frac {2\pi }{N^{\prime }}}}</annotation></semantics></math><img src=$ N ′ > N , ce qui donne N ′ > N coefficients de sommation dans la seconde somme de la représentation de Gabor discrète. Dans ce cas, le nombre de coefficients de Gabor obtenus serait M ${\displaystyle \cdot <semantics><mrow><mstyle><mo>⋅</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdot }</annotation></semantics></math><img src=$ N ′ > K . Par conséquent, il existe plus de coefficients que de valeurs d'échantillon disponibles et, de ce fait, une représentation redondante serait obtenue.

Transformation de Gabor à l'échelle

Comme pour la transformée de Fourier à court terme, la résolution temporelle et fréquentielle peut être ajustée en choisissant une largeur de fenêtre différente. Dans le cas de la transformée de Gabor, en ajoutant de la variance ${\displaystyle \sigma <semantics><mrow><mstyle><mi>σ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sigma }</annotation></semantics></math><img src=$

La fenêtre gaussienne mise à l'échelle (normalisée) est désignée par :

{\displaystyle W_{ ext{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>W</mi><mrow><mtext>gaussienne</mtext></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>σ</mi><mi>π</mi><msup><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle W_{ ext{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

La transformée de Gabor mise à l'échelle peut donc s'écrire comme suit :

{\displaystyle G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }} extstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi ( au -t)^{2}}e^{-j2\pi f au }x( au )d au \qquad <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>G</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mroot><mi>σ</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></mroot></mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>σ</mi><mi>π</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>−</mo><mi>t</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>j</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>f</mi><mi>τ</mi></mrow></msup><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>τ</mi><mspace></mspace></mstyle></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }} extstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi ( au -t)^{2}}e^{-j2\pi f au }x( au )d au \qquad }</annotation></semantics></math></span><img src=

Avec un grand ${\displaystyle \sigma <semantics><mrow><mstyle><mi>σ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sigma }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sigma <semantics><mrow><mstyle><mi>σ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sigma }</annotation></semantics></math><img src=$

Analogue temporel-causal de la transformation de Gabor

Lors du traitement de signaux temporels, l'accès aux données futures est impossible, ce qui pose problème lorsqu'on tente d'utiliser les fonctions de Gabor pour traiter des signaux en temps réel. Un analogue temporel-causal du filtre de Gabor a été développé dans en remplaçant le noyau gaussien de la fonction de Gabor par un noyau temporel-causal et récursif, appelé noyau limite temporel-causal. Ainsi, l'analyse temps-fréquence, basée sur l'extension complexe résultante du noyau limite temporel-causal, permet de capturer des transformations d'un signal temporel essentiellement similaires à celles de la fonction de Gabor, et correspondant au groupe de Heisenberg (voir pour plus de détails).