Coefficient binomial gaussien

En mathématiques , les coefficients binomiaux gaussiens (également appelés coefficients gaussiens , polynômes gaussiens ou coefficients q -binomiaux ) sont des q -analogues des coefficients binomiaux . Le coefficient binomial gaussien, écrit ou , est un polynôme en q à coefficients entiers, dont la valeur lorsque q est fixée à une puissance première compte le nombre de sous-espaces de dimension k dans un espace vectoriel de dimension n sur un corps fini à q éléments ; c'est-à-dire qu'il est le nombre de points dans la grassmannienne finie .

Les coefficients binomiaux gaussiens sont définis par :

où m et r sont des entiers non négatifs. Si r > m , cela donne 0. Pour r = 0 , la valeur est 1 puisque le numérateur et le dénominateur sont tous deux des produits vides .

Bien que la formule semble à première vue être une fonction rationnelle , il s'agit en réalité d'un polynôme, car la division est exacte en Z [ q ]

Tous les facteurs du numérateur et du dénominateur sont divisibles par 1 − q , et le quotient est le q -nombre :

En divisant ces facteurs, on obtient la formule équivalente

En termes de factorielle q , la formule peut être énoncée comme suit

En remplaçant q = 1 dans donne le coefficient binomial ordinaire .

Le coefficient binomial gaussien a des valeurs finies comme :

Une description combinatoire des coefficients binomiaux gaussiens implique des inversions .

Le coefficient binomial ordinaire compte les r - combinaisons choisies dans un ensemble de m -éléments. Si l'on considère que ces m éléments sont les différentes positions de caractères dans un mot de longueur m , alors chaque r -combinaison correspond à un mot de longueur m utilisant un alphabet de deux lettres, disons {0,1}, avec r copies de la lettre 1 (indiquant les positions dans la combinaison choisie) et m − r lettres 0 (pour les positions restantes).

Ainsi, par exemple, les mots utilisant des 0 et des 1 sont .

Pour obtenir le coefficient binomial gaussien , à chaque mot est associé un facteur q ^d , où d est le nombre d'inversions du mot, où, dans ce cas, une inversion est une paire de positions où la gauche de la paire contient la lettre 1 et la position droite contient la lettre 0 .

Dans l'exemple ci-dessus, il y a un mot avec 0 inversion, , un mot avec 1 inversion, , deux mots avec 2 inversions, , , un mot avec 3 inversions, , et un mot avec 4 inversions, . Il s'agit également du nombre de décalages vers la gauche des 1 par rapport à la position initiale.

Ceux-ci correspondent aux coefficients en .

Une autre façon de voir cela est d'associer chaque mot à un chemin à travers une grille rectangulaire de hauteur r et de largeur m − r , allant du coin inférieur gauche au coin supérieur droit. Le chemin fait un pas vers la droite pour chaque 0 et un pas vers le haut pour chaque 1 . Une inversion inverse les directions d'un pas (droite+haut devient haut+droite et vice versa), donc le nombre d'inversions est égal à la surface sous le chemin.

Soit le nombre de façons de lancer des boules indiscernables dans des bacs indiscernables, où chaque bac peut contenir jusqu'à boules. Le coefficient binomial gaussien peut être utilisé pour caractériser . En effet,

où désigne le coefficient du polynôme (voir également la section Applications ci-dessous).

Comme les coefficients binomiaux ordinaires, les coefficients binomiaux gaussiens sont à symétrie centrale, c'est-à-dire invariants par réflexion :

En particulier,

L'évaluation d'un coefficient binomial gaussien à q = 1 est

c'est-à-dire que la somme des coefficients donne la valeur binomiale correspondante.

Le degré de est .

Les analogues de l'identité de Pascal pour les coefficients binomiaux gaussiens sont :

et

Lorsque , ces deux équations donnent l'identité binomiale habituelle. Nous pouvons voir que lorsque , les deux équations restent valables.

Le premier analogue de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux gaussiens de manière récursive (par rapport à m ) en utilisant les valeurs initiales

et montre également que les coefficients binomiaux gaussiens sont en effet des polynômes (en q ).

Le deuxième analogue de Pascal découle du premier en utilisant la substitution et l'invariance des coefficients binomiaux gaussiens sous la réflexion .

Ces identités ont des interprétations naturelles en termes d'algèbre linéaire. Rappelons que compte les sous-espaces de dimension r et soit une projection avec un espace nul unidimensionnel . La première identité provient de la bijection qui mène au sous-espace ; dans le cas où , l'espace est de dimension r et nous devons également garder une trace de la fonction linéaire dont le graphe est ; mais dans le cas où , l'espace est de dimension ( r −1) et nous pouvons reconstruire sans aucune information supplémentaire. La seconde identité a une interprétation similaire, en prenant pour un espace de dimension ( m −1) , se divisant à nouveau en deux cas.

Les deux analogues peuvent être prouvés en notant d'abord que d'après la définition de , nous avons :

Comme

L'équation ( 1 ) devient :

et en remplaçant l'équation ( 3 ), on obtient le premier analogue.

Un processus similaire, utilisant

au lieu de cela, donne le deuxième analogue.

Il existe un analogue du théorème binomial pour les coefficients q -binomiaux, connu sous le nom de théorème binomial de Cauchy :

Comme le théorème binomial habituel, cette formule a de nombreuses généralisations et extensions ; l'une d'entre elles, correspondant au théorème binomial généralisé de Newton pour les puissances négatives, est

A la limite , ces formules donnent

et

Le paramètre donne les fonctions génératrices pour les parties distinctes et quelconques respectivement. (Voir également Série hypergéométrique de base .)

Avec les coefficients binomiaux ordinaires, on a :

Avec des coefficients q-binomiaux, l'analogue est :

Gauss a utilisé à l'origine les coefficients binomiaux gaussiens pour déterminer le signe de la somme quadratique de Gauss .

Les coefficients binomiaux gaussiens interviennent dans le comptage des polynômes symétriques et dans la théorie des partitions . Le coefficient de q ^r dans

est le nombre de partitions de r avec m parties ou moins, chacune inférieure ou égale à n . De manière équivalente, c'est aussi le nombre de partitions de r avec n parties ou moins, chacune inférieure ou égale à m .

Les coefficients binomiaux gaussiens jouent également un rôle important dans la théorie énumérative des espaces projectifs définis sur un corps fini. En particulier, pour tout corps fini F _q à q éléments, le coefficient binomial gaussien

compte le nombre de sous-espaces vectoriels de dimension k d'un espace vectoriel de dimension n sur F _q (un Grassmannien ). Lorsqu'il est développé comme un polynôme en q , il donne la décomposition bien connue du Grassmannien en cellules de Schubert. Par exemple, le coefficient binomial gaussien

est le nombre de sous-espaces unidimensionnels dans ( F _q ) ⁿ (de manière équivalente, le nombre de points dans l' espace projectif associé ). De plus, lorsque q est 1 (respectivement −1), le coefficient binomial gaussien donne la caractéristique d'Euler de la Grassmannienne complexe (respectivement réelle) correspondante.

Le nombre de sous-espaces affines de dimension k de F _q ⁿ est égal à

Cela permet une autre interprétation de l'identité

comme comptant les sous-espaces de dimension ( r − 1) de l'espace projectif de dimension ( m − 1) en fixant un hyperplan, en comptant les sous-espaces contenus dans cet hyperplan, puis en comptant les sous-espaces non contenus dans l'hyperplan ; ces derniers sous-espaces sont en correspondance bijective avec les sous-espaces affines de dimension ( r − 1) de l'espace obtenu en traitant cet hyperplan fixe comme l'hyperplan à l'infini.

Dans les conventions communes aux applications aux groupes quantiques , une définition légèrement différente est utilisée ; le coefficient binomial quantique y est

Cette version du coefficient binomial quantique est symétrique par échange de et .