Worldlex Wiki En mathématiques , un ensemble générateur Γ d'un module M sur un anneau R est un sous-ensemble de M tel que le plus petit sous-module de M contenant Γ soit M lui-même (le plus petit sous-module contenant un sous-ensemble est l' intersection de tous les sous-modules contenant l'ensemble). L'ensemble Γ est alors dit engendreur de M. Par exemple, l'anneau R est engendré par l'élément neutre 1 comme un R -module gauche sur lui-même. S'il existe un ensemble générateur fini , alors un module est dit finiment engendré .
Ceci s'applique aux idéaux , qui sont les sous-modules de l'anneau lui-même. En particulier, un idéal principal est un idéal dont le groupe générateur est constitué d'un seul élément.
Explicitement, si Γ est un ensemble générateur d'un module M , alors tout élément de M est une combinaison R -linéaire (finie) de certains éléments de Γ ; c'est-à-dire que pour chaque x dans M , il existe r 1 , ..., r m dans R et g 1 , ..., g m dans Γ tels que
En d'autres termes, il y a une surjection
où nous avons écrit r g pour un élément de la g -ième composante de la somme directe. (Par coïncidence, puisqu'un ensemble générateur existe toujours, par exemple M lui-même, cela montre qu'un module est un quotient d'un module libre , un fait utile.)
Un ensemble générateur d'un module est dit minimal si aucun sous-ensemble propre de l'ensemble ne génère le module. Si R est un corps , alors un ensemble générateur minimal est la même chose qu'une base . À moins que le module ne soit de type fini , il peut n'exister aucun ensemble générateur minimal.
La cardinalité d'un ensemble générateur minimal n'est pas nécessairement un invariant du module ; Z est engendré comme idéal principal par 1, mais il est aussi engendré par exemple par un ensemble générateur minimal {2, 3 }. Ce qui est déterminé de manière unique par un module est l' infimum des nombres des générateurs du module.
Soit R un anneau local d' idéal maximal m et de corps résiduel k et de module finiment généré M. Alors le lemme de Nakayama dit que M possède un ensemble générateur minimal dont le cardinal est . Si M est plat , alors cet ensemble générateur minimal est linéairement indépendant (donc M est libre). Voir aussi : Résolution minimale .
Une information plus précise est obtenue si l'on considère les relations entre les générateurs ; voir Présentation libre d'un module .