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Hermann Günther Grassmann ( polymathe allemand , reconnu de son vivant comme linguiste et aujourd’hui également comme mathématicien . Il était aussi physicien , érudit et éditeur. Ses travaux mathématiques restèrent peu connus jusqu’à ses soixante ans. Ses recherches ont précédé et dépassé le concept aujourd’hui connu sous le nom d’ espace vectoriel . Il a introduit la grassmannienne , l’espace qui paramétrise tous les sous-espaces linéaires de dimension k d’un espace vectoriel V de dimension n . En linguistique, il a contribué à dissocier l’histoire et la structure du langage.
pasteur ordonné qui enseignait les mathématiques et la physique au lycée de Stettin , où Hermann fit ses études. Son frère Robert était également mathématicien.Grassmann était un élève sans éclat jusqu'à ce qu'il obtienne une excellente note aux examens d'entrée dans les universités prussiennes . À partir de 1827, il étudia la théologie à l' université de Berlin , tout en suivant des cours de langues classiques , de philosophie et de littérature. Il ne semble pas avoir suivi de cours de mathématiques ou de physique .
Bien que n'ayant pas reçu de formation universitaire en mathématiques, c'était le domaine qui l'intéressait le plus à son retour à Stettin en 1830, après avoir terminé ses études à Berlin. Après une année de préparation, il passa les examens nécessaires pour enseigner les mathématiques dans un gymnase, mais n'obtint qu'un résultat suffisant pour enseigner aux classes de premier cycle. C'est à cette époque qu'il fit ses premières découvertes mathématiques importantes, celles qui le conduisirent aux idées majeures qu'il exposa dans son article de 1844, * Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik* , désigné ici par A1 , puis révisé en 1862 sous le titre * Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet* , désigné ici par A2 .
En 1834, Grassmann commença à enseigner les mathématiques à la Gewerbeschule de Berlin, un poste précédemment occupé par Jakob Steiner . Un an plus tard, il retourna à Stettin pour enseigner les mathématiques, la physique, l'allemand, le latin et les études religieuses dans une nouvelle école, l'Otto Schule. Au cours des quatre années suivantes, Grassmann réussit les examens qui lui permirent d'enseigner les mathématiques, la physique , la chimie et la minéralogie à tous les niveaux de l'enseignement secondaire.
En 1847, il fut nommé « Oberlehrer », ou directeur d'école. En 1852, il succéda à son père au lycée de Stettin, obtenant ainsi le titre de professeur. En 1847, il sollicita le ministère prussien de l'Éducation pour un poste universitaire, lequel demanda alors l'avis d' Ernst Kummer sur Grassmann. Kummer répondit que le mémoire primé de Grassmann en 1846 (voir ci-dessous) contenait « un contenu remarquable, mais présenté de façon imparfaite ». Ce rapport mit fin à tout espoir pour Grassmann d'obtenir un poste universitaire. Cet épisode s'avéra être une constante : à maintes reprises, les personnalités de l'époque de Grassmann ne reconnurent pas la valeur de ses travaux en mathématiques.
Au début des troubles politiques en Allemagne, entre 1848 et 1849, Hermann et son frère Robert publièrent un journal à Stettin, l'unification allemande sous une monarchie constitutionnelle (ce qui se réalisa en 1871). Après avoir écrit une série d'articles sur le droit constitutionnel , Hermann quitta le journal, se sentant de plus en plus en désaccord avec son orientation politique.
En 1849, il épousa Thérèse Knappe et ils eurent onze enfants, dont sept atteignirent l'âge adulte. Son fils, Hermann Ernst Grassmann, obtint un doctorat en mathématiques et devint professeur de mathématiques à l' université de Giessen .
Suite au décès de son père en 1852, Grassmann fut nommé à l'ancien poste de son père au gymnase de Stettin.
Mathématicien
L'un des nombreux examens que Grassmann devait passer exigeait la rédaction d'un essai sur la théorie des marées. En 1840, il s'y conforma, reprenant les fondements théoriques du Traité de mécanique céleste de Laplace et de la Mécanique analytique de Lagrange , mais exposant cette théorie à l'aide des méthodes vectorielles qu'il mûrissait depuis 1832. Cet essai, publié pour la première fois dans les Œuvres complètes de 1894-1911, contient la première apparition connue de ce que l'on appelle aujourd'hui l'algèbre linéaire et la notion d' espace vectoriel . Il développa ensuite ces méthodes dans son ouvrage Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik ( A1 ) et sa révision ultérieure Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet ( A2 ).
En 1844, Grassmann publia son chef-d'œuvre ( A1 ), communément appelé Ausdehnungslehre , que l'on peut traduire par « théorie de l'extension » ou « théorie des grandeurs extensives ». Puisque A1 proposait un nouveau fondement pour l'ensemble des mathématiques, l'ouvrage débutait par des définitions d'ordre philosophique et d'une grande généralité. Grassmann démontra ensuite qu'une fois la géométrie formulée sous la forme algébrique qu'il préconisait, le nombre trois ne jouit d'aucun rôle privilégié en tant que nombre de dimensions spatiales ; le nombre de dimensions possibles est en réalité illimité.
Fearnley-Sander décrit la fondation de l'algèbre linéaire de Grassmann comme suit :
La définition d'un espace vectoriel ( espace linéaire ) [...] s'est largement répandue vers 1920, lorsque Hermann Weyl et d'autres en ont publié des définitions formelles. En réalité, une telle définition avait été donnée trente ans auparavant par Peano , qui connaissait parfaitement les travaux mathématiques de Grassmann. Grassmann n'a pas formulé de définition formelle – le langage mathématique n'existait pas à l'époque – mais il ne fait aucun doute qu'il en avait le concept.
Partant d'une collection d'« unités » e₁ , e₂ , e₃ , ... , il définit l'espace vectoriel libre qu'elles engendrent ; autrement dit, il considère les combinaisons linéaires formelles a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ + ... où les aⱼ sont des nombres réels, définit l'addition et la multiplication par des nombres réels (de la manière désormais usuelle) et démontre formellement les propriétés d'espace vectoriel de ces opérations. ... Il développe ensuite la théorie de l'indépendance linéaire d'une manière étonnamment proche de la présentation que l'on trouve dans les manuels modernes d'algèbre linéaire. Il définit les notions de sous-espace, d'indépendance linéaire, d'espace engendré , de dimension , de jointure et d' intersection de sous - espaces , ainsi que les projections d'éléments sur des sous-espaces.
[...] rares sont ceux qui, comme Hermann Grassmann, se sont approchés de la création, à eux seuls, d'une nouvelle discipline.
S'inspirant d'une idée du père de Grassmann, A1 a également défini le produit extérieur , aussi appelé « produit combinatoire » (en allemand : kombinatorisches Produkt ou äußeres Produkt , « produit extérieur »), opération fondamentale d'une algèbre désormais nommée algèbre extérieure . (Il convient de rappeler qu'à l'époque de Grassmann, la seule théorie axiomatique était la géométrie euclidienne , et la notion générale d' algèbre abstraite n'était pas encore définie.) En 1878, William Kingdon Clifford a intégré cette algèbre extérieure aux quaternions de William Rowan Hamilton en remplaçant la règle de Grassmann e<sub> p</sub> e<sub> p</sub> = 0 par la règle e <sub>p</sub> e<sub> p </sub> = 1. (Pour les quaternions , on a la règle i <sup>2</sup> = j <sup>2</sup> = k <sup>2</sup> = −1.) Pour plus de détails, voir Algèbre extérieure .
Le texte A1 était révolutionnaire, trop en avance sur son temps pour être apprécié à sa juste valeur. Lorsque Grassmann le soumit pour postuler à une chaire de professeur en 1847, le ministère demanda un rapport à Ernst Kummer . Ce dernier reconnut la qualité des idées contenues dans le texte, mais jugea l'exposé insuffisant et déconseilla d'accorder un poste universitaire à Grassmann. Durant les dix années suivantes, Grassmann publia divers ouvrages appliquant sa théorie de l'extension, notamment sa *Neue Theorie der Elektrodynamik* de 1845 et plusieurs articles sur les courbes et surfaces algébriques , dans l'espoir que ces applications inciteraient d'autres chercheurs à prendre sa théorie au sérieux.
En 1846, Möbius invita Grassmann à participer à un concours visant à résoudre un problème initialement proposé par Leibniz : concevoir un calcul géométrique dépourvu de coordonnées et de propriétés métriques (ce que Leibniz appelait « analysis situs » ). L’ouvrage de Grassmann, *Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik* , remporta le concours (il fut également le seul à être présenté). Möbius, membre du jury, critiqua la manière dont Grassmann introduisait des notions abstraites sans donner au lecteur la moindre intuition quant à leur utilité.
En 1853, Grassmann publia une théorie du mélange des couleurs ; ses quatre lois des couleurs sont encore enseignées aujourd’hui sous le nom de lois de Grassmann . Les travaux de Grassmann sur ce sujet étaient en contradiction avec ceux de Helmholtz . Grassmann a également écrit sur la cristallographie , l’électromagnétisme et la mécanique .
En 1861, Grassmann jeta les bases de l'axiomatisation de l'arithmétique par Peano dans son *Lehrbuch der Arithmetik . En 1862, il publia une seconde édition entièrement remaniée de *A1* , espérant obtenir une reconnaissance tardive pour sa théorie de l'extension et présentant l'exposé définitif de son algèbre linéaire . Le résultat, *Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet* ( *A2 *), ne connut pas plus de succès que *A1* , bien que la manière Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant développa un calcul vectoriel similaire à celui de Grassmann, qu'il publia en 1845. Il entra ensuite en conflit avec Grassmann quant à la paternité de ces idées. Grassmann avait publié ses résultats en 1844, tandis que Saint-Venant affirmait en avoir été le premier à les développer en 1832.
L'un des premiers mathématiciens à apprécier les idées de Grassmann de son vivant fut Hermann Hankel , dont la Theorie der complexen Zahlensysteme de 1867 .
les quaternions de W.R. Hamilton . Hankel fut le premier à reconnaître l'importance des écrits longtemps négligés de Grassmann et en fut fortement influencé.En 1872, Victor Schlegel publia la première partie de son *System der Raumlehre* , qui utilisait l'approche de Grassmann pour établir des résultats anciens et modernes en géométrie plane . Felix Klein rédigea une critique négative de l'ouvrage de Schlegel, lui reprochant son caractère incomplet et son manque de perspective sur Grassmann. Schlegel publia ensuite en 1875 une seconde partie de son *System according to Grassmann*, développant cette fois la géométrie de dimension supérieure. Parallèlement, Klein poursuivait son programme d'Erlangen , qui élargissait également le champ de la géométrie.
La compréhension de Grassmann dépendait du concept d' espaces vectoriels , qui permettait alors d'exprimer l' algèbre multilinéaire de sa théorie de l'extension. Afin d'établir la priorité de Grassmann sur Hamilton, Josiah Willard Gibbs incita les héritiers de Grassmann à faire publier son essai de 1840 sur les marées. La première monographie d' A.N. Whitehead , *The Universal Algebra * (1898), comprenait la première exposition systématique en anglais de la théorie de l'extension et de l' algèbre extérieure . Avec l'essor de la géométrie différentielle, l'algèbre extérieure fut appliquée aux formes différentielles .
En 1995, Lloyd C. Kannenberg a publié une traduction anglaise de The Ausdehnungslehre and Other works. Pour une introduction au rôle de l'œuvre de Grassmann dans la physique mathématique contemporaine, voir The Road to Reality de Roger Penrose .
Linguiste
Les idées mathématiques de Grassmann ne commencèrent à se diffuser que vers la fin de sa vie. Trente ans après la publication de *A1*, l'éditeur lui écrivit : « Votre ouvrage * Die Ausdehnungslehre* est épuisé depuis un certain temps. Comme il s'est très peu vendu, environ 600 exemplaires ont servi de brouillon en 1864 et les quelques exemplaires restants sont désormais épuisés, à l'exception de celui de notre bibliothèque. » Déçu par l'accueil réservé à son travail dans les cercles mathématiques, Grassmann perdit ses contacts avec les mathématiciens ainsi que son intérêt pour la géométrie. Dans les dernières années de sa vie, il se tourna vers la linguistique historique et l'étude du sanskrit . Il écrivit des ouvrages de grammaire allemande , collecta des chants populaires et apprit le sanskrit. Il rédigea un dictionnaire de 2 000 pages et une traduction du * Rigveda* (plus de 1 000 pages). Dans les études modernes sur le *Rigveda* , l'œuvre de Grassmann est fréquemment citée. En 1955, une troisième édition de son dictionnaire a été publiée.
Grassmann a également observé et présenté une règle phonologique présente à la fois en sanskrit et en grec . En son honneur, cette règle est connue sous le nom de loi de Grassmann . Sa découverte fut révolutionnaire pour la linguistique historique de l'époque, car elle remettait en question l'idée largement répandue que le sanskrit était un ancêtre plus ancien des autres langues indo-européennes. Cette hypothèse était courante en raison de la structure plus agglutinante du sanskrit, que l'on pensait être une étape intermédiaire pour des langues comme le latin et le grec, afin d'atteindre leur structure synthétique plus « moderne ». Cependant, les travaux de Grassmann ont prouvé que, selon au moins un schéma phonologique, l'allemand était effectivement « plus ancien » (c'est-à-dire moins synthétique) que le sanskrit. Cela signifiait que les classifications généalogiques et typologiques des langues étaient enfin correctement distinguées en linguistique, permettant des progrès significatifs pour les linguistes ultérieurs.
Ces réalisations philologiques furent honorées de son vivant. Il fut élu à l' American Oriental Society et, en 1876, il reçut un doctorat honorifique de l' Université de Tübingen .
Publications
- A1 :
- Grassmann, Hermann (1844). Die Lineale Ausdehnungslehre (en allemand). Leipzig : Otto Wigand.
- Open Court . pp. 9–297 . ISBN9780812692761.
- Weidmannsche Buchhandlung .
- American Mathematical Society ISBN0-8126-9275-6, ISBN0-8126-9276-4