Numéro de fonction de Green

En conduction thermique mathématique , le nombre de fonction de Green est utilisé pour catégoriser de manière unique certaines solutions fondamentales de l' équation de la chaleur afin de rendre les solutions existantes plus faciles à identifier, à stocker et à récupérer.

Les nombres ont longtemps été utilisés pour identifier les types de conditions aux limites. Le système de numération des fonctions de Green a été proposé par Beck et Litkouhi en 1988 et a connu une utilisation croissante depuis lors. Le système de numération a été utilisé pour cataloguer une grande collection de fonctions de Green et de solutions associées.

Bien que les exemples donnés ci-dessous concernent l' équation de la chaleur , ce système numérique s'applique à tous les phénomènes décrits par des équations différentielles telles que la diffusion , l'acoustique , l'électromagnétisme , la dynamique des fluides , etc.

Le numéro de fonction de Green spécifie le système de coordonnées et le type de conditions aux limites qu'une fonction de Green satisfait. Le numéro de fonction de Green comporte deux parties, une désignation par lettre suivie d'une désignation par numéro. La ou les lettres désignent le système de coordonnées, tandis que les numéros désignent le type de conditions aux limites satisfaites.

Certaines des désignations du système numérique de fonctions de Greens sont données ci-après. Les désignations du système de coordonnées comprennent : X, Y et Z pour les coordonnées cartésiennes ; R, Z, φ pour les coordonnées cylindriques ; et RS, φ, θ pour les coordonnées sphériques. Les désignations de plusieurs conditions limites sont données dans le tableau 1. La condition limite zéro est importante pour identifier la présence d'une limite de coordonnées là où aucune limite physique n'existe, par exemple, au loin dans un corps semi-infini ou au centre d'un corps cylindrique ou sphérique.

A titre d'exemple, le nombre X11 désigne la fonction de Green qui satisfait l'équation de la chaleur dans le domaine ( 0 < x < L ) pour des conditions aux limites de type 1 ( Dirichlet ) aux deux limites x = 0 et x = L . Ici, X désigne la coordonnée cartésienne et 11 désigne la condition aux limites de type 1 des deux côtés du corps. Le problème de valeur limite pour la fonction de Green X11 est donné par

Voici la diffusivité thermique (m ² /s) et la fonction delta de Dirac . Ce GF est développé ailleurs.

Comme autre exemple cartésien, le nombre X20 désigne la fonction de Green dans le corps semi-infini ( ) avec une limite de Neumann (type 2) à x = 0 . Ici, X désigne la coordonnée cartésienne, 2 désigne la condition limite de type 2 à x = 0 et 0 désigne la condition limite de type zéro (limite) à . Le problème de valeur limite pour la fonction de Green X20 est donné par

Ce GF est publié ailleurs.

À titre d'exemple bidimensionnel, le nombre X10Y20 désigne la fonction de Green dans le corps quart-infini ( , ) avec une limite de Dirichlet (type 1) à x = 0 et une limite de Neumann (type 2) à y = 0 . Le problème de valeur limite pour la fonction de Green X10Y20 est donné par

Des applications des GF demi-espace et quart d'espace apparentés sont disponibles.

À titre d'exemple dans le système de coordonnées cylindriques, le numéro R03 désigne la fonction de Green qui satisfait l'équation de la chaleur dans le cylindre solide ( 0 < r < a ) avec une condition limite de type 3 (Robin) à r = a . Ici, la lettre R désigne le système de coordonnées cylindriques, le numéro 0 désigne la condition limite zéro (limite) au centre du cylindre ( r = 0 ) et le numéro 3 désigne la condition limite de type 3 ( Robin ) à r = a . Le problème de valeur limite pour la fonction de Green R03 est donné par

Voici la conductivité thermique (W/(m·K)) et le coefficient de transfert de chaleur (W/(m· ² ·K)). Voir Carslaw & Jaeger (1959, p. 369), Cole et al. (2011, p. 543) pour ce GF.

À titre d'exemple, le nombre R10 désigne la fonction de Green dans un grand corps contenant un vide cylindrique (a < r < ) avec une condition limite de type 1 (Dirichlet) à r = a . Encore une fois, la lettre R désigne le système de coordonnées cylindriques, le nombre 1 désigne la limite de type 1 à r = a et le nombre 0 désigne la limite de type zéro (limite) aux grandes valeurs de r. Le problème de valeur limite pour la fonction de Green R10 est donné par

Ce GF est disponible ailleurs.

A titre d'exemple bidimensionnel, le nombre R01φ00 désigne la fonction de Green dans un cylindre solide avec une dépendance angulaire, avec une condition limite de type 1 (Dirichlet) à r = a . Ici, la lettre φ désigne la coordonnée angulaire (azimutale) et les nombres 00 désignent les limites de type zéro pour l'angle ; ici, aucune limite physique ne prend la forme de la condition limite périodique. Le problème de valeur limite pour la fonction de Green R01φ00 est donné par

Une forme transitoire et une forme stable de ce GF sont disponibles.

À titre d'exemple dans le système de coordonnées sphériques, le numéro RS02 désigne la fonction de Green pour une sphère solide ( 0 < r < b ) avec une condition limite de type 2 ( Neumann ) à r = b . Ici, les lettres RS désignent le système de coordonnées radiales-sphériques, le numéro 0 désigne la condition limite zéro (limite) à r = 0 et le numéro 2 désigne la limite de type 2 à r = b . Le problème de valeur limite pour la fonction de Green RS02 est donné par

Ce GF est disponible ailleurs.