Worldlex Wiki En analyse mathématique , une fonction hermitienne est une fonction complexe dont le conjugué complexe est égal à la fonction d'origine dont la variable a changé de signe :
(où indique le conjugué complexe) pour tout dans le domaine de . En physique , cette propriété est appelée symétrie PT .
Cette définition s'étend également aux fonctions de deux ou plusieurs variables, par exemple, dans le cas où il s'agit d'une fonction de deux variables, elle est hermitienne si
pour toutes les paires dans le domaine de .
De cette définition, il résulte immédiatement que : est une fonction hermitienne si et seulement si
- la partie réelle de est une fonction paire ,
- la partie imaginaire de est une fonction impaire .
Motivation
Les fonctions hermitiennes apparaissent fréquemment en mathématiques, en physique et en traitement du signal . Par exemple, les deux affirmations suivantes découlent des propriétés de base de la transformée de Fourier :
- La fonction est à valeur réelle si et seulement si la transformée de Fourier est hermitienne.
- La fonction est hermitienne si et seulement si la transformée de Fourier de est à valeur réelle.
La transformée de Fourier d'un signal réel étant garantie hermitienne, elle peut être compressée en utilisant la symétrie hermitienne paire/impaire. Cela permet, par exemple, de stocker la transformée de Fourier discrète d'un signal (qui est en général complexe) dans le même espace que le signal réel d'origine.
- Si f est hermitienne, alors .
Où est la corrélation croisée et est la convolution .
- Si f et g sont tous deux hermitiens, alors .