Homographie

Historiquement, le concept d'homographie a été introduit pour comprendre, expliquer et étudier la perspective visuelle , et plus précisément la différence d'apparence de deux objets plans observés de points de vue différents.

Dans l'espace euclidien tridimensionnel, la projection centrale d'un point O (le centre) sur un plan P ne contenant pas O est l'application qui envoie un point A sur l'intersection (si elle existe) de la droite OA et du plan P. La projection n'est pas définie si le point A appartient au plan passant par O et parallèle à P. La notion d' espace projectif a été initialement introduite en étendant l'espace euclidien, c'est-à-dire en y ajoutant des points à l'infini , afin de définir la projection pour tout point autre que O.

Étant donné un autre plan Q , qui ne contient pas O , la restriction à Q de la projection ci-dessus est appelée une perspectivité .

Avec ces définitions, une perspectivité n'est qu'une fonction partielle , mais elle devient une bijection lorsqu'elle est étendue aux espaces projectifs. Par conséquent, cette notion est généralement définie pour les espaces projectifs. Elle se généralise aussi aisément aux espaces projectifs de toute dimension, sur tout corps , de la manière suivante :

Étant donné deux espaces projectifs P et Q de dimension n , une perspectivité est une bijection de P à Q qui peut être obtenue en plongeant P et Q dans un espace projectif R de dimension n + 1 et en restreignant à P une projection centrale sur Q.

Si f est une perspective de P vers Q et g une perspective de Q vers P , avec un centre différent, alors est une homographie de P vers lui-même, appelée collinéation centrale , lorsque la dimension de P est au moins égale à deux. (Voir Collinéations centrales ci-dessous et Collinéations de perspective .)

À l'origine, une homographie était définie comme la composition d'un nombre fini de perspectives. Il ressort du théorème fondamental de la géométrie projective (voir ci-dessous) que cette définition coïncide avec la définition plus algébrique esquissée dans l'introduction et détaillée ci-dessous.

Un espace projectif P( V ) de dimension n sur un corps K peut être défini comme l'ensemble des droites passant par l'origine dans un vectoriel V de dimension Si une base de V est fixée, un point de V peut être représenté par un point de Kₙ₊₁ . ^Un point de P( V ), étant une droite de V , peut ainsi être représenté par les ^coordonnées de tout point non nul de cette droite, appelées coordonnées homogènes du point projectif.

Étant donnés deux espaces projectifs P( V ) et P( W ) de même dimension, une homographie est une application de P( V ) vers P( W ) induite par un isomorphisme d'espaces vectoriels : V → W. Un tel isomorphisme induit une bijection de P( V ) vers P( W ), du fait de la linéarité de f . Deux tels isomorphismes, f et g , définissent la même homographie si et seulement s'il existe un élément non nul a de K tel que .

[ a _{_{i , j}} ], appelée matrice d'homographie . Cette matrice est définie à la multiplication près par un élément non nul de K. Les coordonnées homogènes : ... : x _{_n} ] d'un point et les coordonnées : ... : y_n ] de son image par φ sont liées par

Lorsque les espaces projectifs sont définis en ajoutant des points à l'infini aux espaces affines (complétion projective), les formules précédentes deviennent, en coordonnées affines,

qui généralise l'expression de la fonction homographique de la section suivante. Ceci ne définit qu'une fonction partielle entre espaces affines, définie uniquement en dehors de l' hyperplan où le dénominateur est nul.

qui sont appelées fonctions homographiques ou transformations fractionnaires linéaires .

Dans le cas de la droite projective complexe , qui peut être identifiée à la sphère de Riemann , les homographies sont appelées transformations de Möbius . Celles-ci correspondent précisément aux bijections de la sphère de Riemann qui préservent l'orientation et sont conformes.

Dans l'étude des collinéations, le cas des droites projectives est particulier du fait de leur dimension réduite. Lorsqu'on considère la droite comme un espace projectif isolé, toute permutation de ses points constitue une collinéation , puisque tout ensemble de points est colinéaire. Cependant, si la droite projective est plongée dans un espace projectif de dimension supérieure, la structure géométrique de cet espace permet d'imposer une structure géométrique à la droite. Ainsi, en géométrie synthétique, les homographies et les collinéations de la droite projective considérées sont celles obtenues par restriction à la droite des collinéations et des homographies d'espaces de dimension supérieure. Cela signifie que le théorème fondamental de la géométrie projective (voir ci-dessous) reste valable en dimension unique. Une homographie d'une droite projective peut également être définie de manière rigoureuse en imposant que l'application préserve les birapports .

Dans cette section, nous considérons les espaces projectifs sur un corps commutatif , bien que la plupart des résultats puissent être généralisés aux espaces projectifs sur un anneau de division .

Soit un espace projectif de dimension , où est un K -espace vectoriel de dimension , et : V ∖ {0} → P ( V ) la projection canonique qui applique un vecteur non nul sur la droite vectorielle qui le contient.

Pour tout repère de , il existe une base V telle que le repère soit eₙ Réciproquement, si est une base de V , alors est un repère de

Il s'ensuit que, étant donné deux repères, il existe une unique homographie qui transforme le premier en le second. En particulier, la seule homographie fixant les points d'un repère est l' application identité . Ce résultat est beaucoup plus difficile en géométrie synthétique (où les espaces projectifs sont définis par des axiomes). Il est parfois appelé le premier théorème fondamental de la géométrie projective .

Chaque repère permet de définir coordonnées projectives , également appelées coordonnées homogènes : tout point peut être noté ; les coordonnées projectives de dans ce repère sont les coordonnées de dans la base . Il est aisé de vérifier que modifier eᵢ _{( v ) , revient possède un repère canonique constitué de l'image par de la base canonique de (constituée des éléments ayant une seule composante non nulle, égale à 1), et sont simplement les coefficients du n-uplet . Étant donné un autre espace projectif de même dimension, et un repère de celui-ci, il existe une et une unique homographie qui applique sur le repère canonique de . Les coordonnées projectives d'un point du repère sont les coordonnées homogènes de sur le repère canonique de .}

Dans les sections précédentes, les homographies ont été définies à l'aide de l'algèbre linéaire. En géométrie synthétique , elles sont traditionnellement définies comme la composition d'une ou plusieurs homographies particulières appelées collinéations centrales . Le théorème fondamental de la géométrie projective établit l'équivalence de ces deux définitions.

Dans un espace projectif P  de dimension , une collinéation de P _n est une bijection de P _n sur P _n qui envoie les droites sur les droites. Une collinéation centrale (traditionnellement appelées perspectivités [ , mais ce terme peut prêter à confusion, ayant une autre signification ; voir Perspectivité ) est une bijection α de P _n sur P_n telle qu'il existe un hyperplan H (appelé axe de α ) fixé ponctuellement par α (c'est-à-dire pour tout point X de H ) et un point O (appelé centre de α ) fixé transversalement par α (toute droite passant par O est envoyée sur elle-même par α , mais pas nécessairement ponctuellement). Il existe deux types de collinéations centrales : les élations, qui sont les collinéations centrales dont le centre est incident à l'axe, et les homologies, qui sont celles dont le centre n'est pas incident à l'axe. Une collinéation centrale est définie de manière unique par son centre, son axe et l'image α ( P ) de tout point P donné , différent du centre O et n'appartenant pas à l'axe. (L'image α ( Q ) de tout autre point Q est l'intersection de la droite définie par O et Q avec la droite passant par α ( P ) et l'intersection avec l'axe de la droite définie par P et Q. )

Une collinéation centrale est une homographie définie par une matrice ( n +1) × ( n +1) dont l' espace propre est de dimension n . Il s'agit d'une homologie si la matrice possède une autre valeur propre et est donc diagonalisable . Il s'agit d'une équation si toutes les valeurs propres sont égales et que la matrice n'est pas diagonalisable.

La représentation géométrique d'une collinéation centrale est plus facile à appréhender dans un plan projectif. Étant donné une collinéation centrale α , considérons une droite ℓ ne passant pas par le centre O , et son image par α , = α (ℓ) . En posant , l'axe de α est une droite M passant par R. L'image de tout point A de ℓ par α est l'intersection de OA avec ℓ ′ d'un point B n'appartenant pas à ℓ peut être construite de la manière suivante : soit , alors = SA ′ ∩ OB .

La composition de deux collinéations centrales, bien qu'étant une homographie en général, n'est pas une collinéation centrale. En fait, toute homographie est la composition d'un nombre fini de collinéations centrales. En géométrie synthétique, cette propriété, qui fait partie de la théorie fondamentale de la géométrie projective, est considérée comme la définition des homographies.

Lorsque F est un corps de Galois GF( q ), son groupe d'homographie s'écrit . Par exemple, _, isomorphe au groupe alterné A₅ , est le groupe d'homographie de la droite projective à cinq points.

Le groupe d'homographie est un sous-groupe du groupe de collinéation des collinéations d'un espace projectif de dimension n . Lorsque les points et les droites de l'espace projectif sont considérés comme un dessin de blocs , dont les blocs sont les ensembles de points contenus dans une droite, il est courant d'appeler le groupe de collinéation le groupe d'automorphismes du dessin .

Le birapport de quatre points colinéaires est un invariant sous l'homographie, fondamental pour l'étude des homographies des droites.

Trois points distincts , et sur une droite projective définie sur un corps forment un repère projectif de cette droite. Il existe donc une unique homographie de cette droite sur qui envoie sur sur 0 et sur 1. Étant donné un quatrième point sur cette même droite, le birapport des quatre points , , et , noté , est l'élément de . Autrement dit, si a pour coordonnées homogènes : 1] sur le repère projectif , alors .

Lorsque A est un anneau commutatif , l'homographie peut s'écrire

mais sinon la transformation fractionnaire linéaire est considérée comme une équivalence :

Le groupe d'homographies de l'anneau des entiers Z est le groupe modulaire . Les homographies d'anneaux ont été utilisées en analyse quaternionique , et avec les quaternions duaux pour faciliter la théorie des vis . Le groupe conforme de l'espace-temps peut être représenté par des homographies où A est l' algèbre de composition des biquaternions .

L'homographieZ / n Z (les entiers modulo n ) puisque alors

Une homographie réelle est involutive (de période 2) si et seulement si Si elle est périodique de période , alors elle est elliptique, et l'on ne perd pas en généralité en supposant que Puisque les racines caractéristiques sont exp(± hπi / m ), où , la trace est .