Construction Hopf

En topologie algébrique , la construction de Hopf construit une application à partir de la jointure ${\displaystyle X*Y <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>∗</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X*Y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ et ${\displaystyle Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y}</annotation></semantics></math><img src=$ à la suspension ${\displaystyle SZ <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle SZ}</annotation></semantics></math><img src=$ d'un espace ${\displaystyle Z <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X imes Y <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X imes Y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Z <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z}</annotation></semantics></math><img src=$ Elle a été introduite par ( 1935 ) dans le cas où ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ et ${\displaystyle Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y}</annotation></semantics></math><img src=$ sont des sphères. J-homomorphisme .

Construction

La construction de Hopf peut être obtenue comme la composition d'une carte

${\displaystyle X*Y ightarrow S(X imes Y) <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>∗</mo><mi>Y</mi><mo>→</mo><mi>S</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X*Y ightarrow S(X imes Y)}</annotation></semantics></math><img src=$

et la suspension

${\displaystyle S(X imes Y) ightarrow SZ <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mi>S</mi><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S(X imes Y) ightarrow SZ}</annotation></semantics></math><img src=$

de la carte de ${\displaystyle X imes Y <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X imes Y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Z <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z}</annotation></semantics></math><img src=$ .

La carte de ${\displaystyle X*Y <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>∗</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X*Y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S(X imes Y) <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S(X imes Y)}</annotation></semantics></math><img src=$ peut être obtenu en considérant les deux côtés comme un quotient de ${\displaystyle X imes Y imes I <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>×</mo><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X imes Y imes I}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle I <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Je}</annotation></semantics></math><img src=$ est l'intervalle unitaire. ${\displaystyle X*Y <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>∗</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X*Y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (x,y,0) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (x,y,0)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (z,y,0) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (z,y,0)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (x,y,1) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (x,y,1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (x,z,1) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (x,z,1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S(X imes Y) <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S(X imes Y)}</annotation></semantics></math><img src=$ on contracte tous les points de la forme ${\displaystyle (x,y,0) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (x,y,0)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (x,y,1) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (x,y,1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X imes Y imes I <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>×</mo><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X imes Y imes I}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S(X imes Y) <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S(X imes Y)}</annotation></semantics></math><img src=$ facteurs à travers ${\displaystyle X*Y <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>∗</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X*Y}</annotation></semantics></math><img src=$

Hopf, H. (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension" , Fonds. Mathématiques. , 25 : 427–440
Whitehead, George W. (1942), « Sur les groupes d'homotopie des sphères et les groupes de rotation », Annals of Mathematics , deuxième série, 43 (4) : 634–640 , doi : 10.2307/1968956 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968956 , MR 0007107