Modèle intérieur

En théorie des ensembles , une branche de la logique mathématique , un modèle interne pour une théorie T est une sous-structure d'un modèle M d'une théorie des ensembles qui est à la fois un modèle pour T et contient tous les ordinaux de M.

Soit L = ⟨∈⟩ le langage de la théorie des ensembles. Soit S une théorie des ensembles particulière, par exemple les axiomes ZFC et soit T (éventuellement le même que S ) également une théorie dans L.

Si M est un modèle pour S, et N est une L -structure telle que

1. N est une sous-structure de M, c'est-à-dire que l' interprétation ∈ _N de ∈ dans N est ∈ _M ∩ N ²
2. N est un modèle de T
3. le domaine de N est une classe transitive de M
4. N contient tous les ordinaux de M

alors on dit que N est un modèle interne de T (dans M ). Habituellement, T sera égal à (ou subsumera) S , de sorte que N est un modèle pour S « à l'intérieur » du modèle M de S .

Si seules les conditions 1 et 2 sont vérifiées, N est appelé un modèle standard de T (dans M ), un sous-modèle standard de T (si S = T et) N est un ensemble dans M . Un modèle N de T dans M est dit transitif lorsqu'il est standard et que la condition 3 est vérifiée. Si l' axiome de fondation n'est pas supposé (c'est-à-dire qu'il n'est pas dans S ), ces trois concepts sont tous deux soumis à la condition supplémentaire que N soit bien fondé . Par conséquent, les modèles internes sont transitifs, les modèles transitifs sont standard et les modèles standard sont bien fondés.

L'hypothèse selon laquelle il existe un sous-modèle standard de ZFC (dans un univers donné) est plus forte que l'hypothèse selon laquelle il existe un modèle. En fait, s'il existe un sous-modèle standard, alors il existe un plus petit sous-modèle standard appelé modèle minimal contenu dans tous les sous-modèles standards. Le sous-modèle minimal ne contient aucun sous-modèle standard (car il est minimal) mais (en supposant la cohérence de ZFC) il contient un modèle de ZFC par le théorème de complétude de Gödel . Ce modèle n'est pas nécessairement bien fondé sinon son effondrement de Mostowski serait un sous-modèle standard. (Il n'est pas bien fondé en tant que relation dans l'univers, bien qu'il satisfasse l' axiome de fondation donc est « intérieurement » bien fondé. Être bien fondé n'est pas une propriété absolue. ) En particulier dans le sous-modèle minimal il y a un modèle de ZFC mais il n'y a pas de sous-modèle standard de ZFC.

Habituellement, lorsque l'on parle de modèles internes d'une théorie, la théorie dont on parle est ZFC ou une extension de ZFC (comme ZFC + "un cardinal mesurable existe"). Lorsqu'aucune théorie n'est mentionnée, on suppose généralement que le modèle en question est un modèle interne de ZFC. Cependant, il n'est pas rare de parler également de modèles internes de sous-théories de ZFC (comme ZF ou KP ).

Kurt Gödel a prouvé que tout modèle de ZF possède un plus petit modèle intérieur de ZF, l' univers constructible , qui est également un modèle intérieur de ZFC + GCH .

Il existe une branche de la théorie des ensembles appelée théorie des modèles internes qui étudie les moyens de construire les plus petits modèles internes des théories étendant ZF. La théorie des modèles internes a conduit à la découverte de la force de cohérence exacte de nombreuses propriétés importantes de la théorie des ensembles.