Worldlex Wiki Un tel système peut être écrit sous la forme d'une seule équation vectorielle,
Cette équation dit que le vecteur tangent à la courbe en tout point le long de la courbe est précisément le vecteur , et donc la courbe est tangente en chaque point au champ vectoriel F .
Si un champ vectoriel donné est lipschitzien , alors le théorème de Picard-Lindelöf implique qu'il existe un flux unique pour un temps court.
Exemples
Si l'équation différentielle est représentée comme un champ vectoriel ou un champ de pentes , alors les courbes intégrales correspondantes sont tangentes au champ en chaque point.
Généralisation aux variétés différentiables
Définition
Soit une variété de Banach de classe avec Comme d'habitude, désigne le fibré tangent de muni de sa projection naturelle : T<sub> M</sub> → M donnée par
Un champ de vecteurs sur est une section du fibré tangent , c'est-à-dire l'association à chaque point de la variété d'un vecteur tangent à en ce point. Soit un champ de vecteurs sur de classe et soit Une courbe intégrale de passant par à l'instant </sub> est une courbe : J → M de classe </sub> , définie sur un intervalle ouvert de la droite réelle contenant , telle que…
Lien avec les équations différentielles ordinaires
La définition ci-dessus d'une courbe intégrale pour un champ vectoriel , passant par à l'instant , revient à dire que est une solution locale de l'équation différentielle ordinaire/du problème de Cauchy.
Elle est locale en ce sens qu'elle n'est définie que pour les instants appartenant à , et non nécessairement pour tout (et encore moins pour Cauchy et de la démonstration de leur unicité.
Remarques sur la dérivée temporelle
Dans ce qui précède, ( t ) désigne la dérivée de à l'instant , c'est-à-dire la direction vers laquelle pointe . D'un point de vue plus abstrait, il s'agit de la dérivée de Fréchet .
Dans le cas particulier où est un sous-ensemble ouvert de , il s'agit de la dérivée usuelle
où sont les coordonnées de par rapport aux directions de coordonnées habituelles.
On peut formuler la même chose de manière encore plus abstraite en termes d' applications induites . Notons que le fibré tangent de est le fibré trivial et qu'il existe une section canonique de ce fibré telle que (ou, plus précisément, ) pour tout La courbe induit une application de fibrés : T<sub> J</sub> → T<sub> M </sub> de sorte que le diagramme suivant commute :
Alors la dérivée temporelle est la composition = α ∗ o ι , et α ′ ( t ) est sa valeur à un certain point .