Distribution Kent

En statistique directionnelle , la distribution de Kent , également connue sous le nom de distribution de Fisher-Bingham à 5 paramètres (du nom de John T. Kent, Ronald Fisher et Christopher Bingham ), est une distribution de probabilité sur la sphère unité ( S2 à ²sphères dans R3 ^à3 espaces ). C'est l'analogue sur S2 de la distribution normale bivariée avec une matrice de covariance sans contrainte . La distribution ^de Kent a été proposée par John T. Kent en 1982 et est utilisée en géologie ainsi qu'en bioinformatique .

Définition

La fonction de densité de probabilité de la distribution de Kent est donnée par : ${\displaystyle f(\mathbf {x} )\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle f ( mathbf {x} ) ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{ extrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\mathbf {x} )^{2}] ight\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mrow> <mtext>c</mtext> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>k</mi> <msubsup> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>[</mo> <mo>(</mo> <msubsup> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <msubsup> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>]</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{ extrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp \gauche\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\mathbf {x} )^{2}]\droite\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est un vecteur unitaire tridimensionnel, désigne la transposée de , et la constante de normalisation est : ${\displaystyle \mathbf {x} \, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {x} \,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (\cdot )^{T <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\cdot )^{T}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (\cdot ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>⋅</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle { extrm {c}}(\kappa ,\beta )\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mtext>c</mtext> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { extrm {c}}(\kappa,\beta)\,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa ight)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{2}}}(\kappa ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\gauche({\frac {1}{2}}\kappa \droite)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{2}}}(\kappa )}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Où est la fonction de Bessel modifiée et est la fonction gamma . Notez que et , la constante de normalisation de la distribution de Von Mises–Fisher . ${\displaystyle I_{v}(\kappa ) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle I_ {v} (kappa)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mo>⋅</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma (\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c(0,0)=4\pi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c(0,0)=4\pi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c(\kappa ,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mi>Sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c(\kappa,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le paramètre (avec ) détermine la concentration ou la dispersion de la distribution, tandis que (avec ) détermine l'ellipticité des contours d'égale probabilité. Plus les paramètres et sont élevés , plus la distribution sera concentrée et elliptique, respectivement. Vecteur est la direction moyenne, et vecteurs sont les axes majeur et mineur. Les deux derniers vecteurs déterminent l'orientation des contours d'égale probabilité sur la sphère, tandis que le premier vecteur détermine le centre commun des contours. La matrice doit être orthogonale. ${\displaystyle \kappa \, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \kappa \,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0\, k > 0$ 0\,}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb89d591a3fdc8f94fe7d159979b3a00b454b825"> ${\displaystyle \beta \, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta \,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq 2\beta <\kappa <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mn>2</mn> <mi>β</mi> <mo><</mo> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle 0 leq 2 bêta < kappa}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \kappa \, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \kappa \,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta \, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta \,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{1}\, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { boldsymbol { gamma}} _ {1} \,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3}\, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3}\,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 3 imes 3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 3\fois 3}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\gamma }}_{1},{\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3})\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ({\boldsymbol {\gamma }}_{1},{\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3})\,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Généralisation aux dimensions supérieures

La distribution de Kent peut être facilement généralisée aux sphères de dimensions supérieures. Si est un point sur la sphère unité dans , alors la fonction de densité de la distribution de Kent à dimensions est proportionnelle à ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S^{p-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S^{p-1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\mathbf {x} )^{2} ight\}\ , <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>k</mi> <msubsup> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msubsup> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j }({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\mathbf {x} )^{2} ight\}\ ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où et et les vecteurs sont orthonormés. Cependant, la constante de normalisation devient très difficile à utiliser pour . ${\displaystyle \sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1,\ldots ,p\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>∣</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1,\ldots ,p\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $3 p > 3$ 3}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437742224b9541cf2559f13e70834ba2c21213cb">