Modèle de Lieb-Liniger

En physique , le modèle de Lieb-Liniger décrit un gaz de particules se déplaçant dans une dimension et satisfaisant les statistiques de Bose-Einstein . Plus précisément, il décrit un gaz de Bose unidimensionnel avec des interactions delta de Dirac . Il doit son nom à Elliott H. Lieb et Werner Liniger qui ont introduit le modèle en 1963. Le modèle a été développé pour comparer et tester la théorie de Nikolay Bogolyubov d'un gaz de Bose à faible interaction.

Étant donné des bosons se déplaçant en une dimension sur l' axe défini par avec des conditions aux limites périodiques , un état du système N corps doit être décrit par une fonction d'onde à plusieurs corps . L' hamiltonien de ce modèle est introduit comme

$i\}^\{N\}\backslash delta\; (x\_\{i\}-x\_\{j\})\backslash \; ,H=-\sum _{\mathrm{je}=1}^N\frac{{\partial }^2}{\partial x_{\mathrm{je}}^2}+2c\sum _{\mathrm{je}=1}^N\sum _{j>\mathrm{je}}^N\delta (x_{\mathrm{je}}-x_j),$i}^{N}\delta (x_{i}-x_{j})\ ,}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bde1c1d3182b87304560ef9c334c71e962a3ff3">

où est la fonction delta de Dirac . La constante indique la force de l'interaction, représente une interaction répulsive et une interaction attractive. La limite du noyau dur est connue sous le nom de gaz de Tonks-Girardeau . $0c>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84">

Pour un ensemble de bosons, la fonction d'onde reste inchangée en cas de permutation de deux particules quelconques (symétrie de permutation), c'est-à-dire que pour tout et satisfait pour tout .

La fonction delta dans l'hamiltonien donne lieu à une condition limite lorsque deux coordonnées, disons et sont égales ; cette condition est que lorsque , la dérivée satisfait

L' équation de Schrödinger indépendante du temps est résolue par la construction explicite de . Comme elle est symétrique, elle est entièrement déterminée par ses valeurs dans le simplexe , défini par la condition que .

La solution peut être écrite sous la forme d'un ansatz de Bethe comme

avec des vecteurs d'onde , où la somme est sur toutes les permutations, , des entiers , et correspond à . Les coefficients , ainsi que les , sont déterminés par la condition , et cela conduit à une énergie totale

avec les amplitudes données par

Ces équations déterminent en fonction des . Elles conduisent aux équations :

où sont des entiers lorsque est impair et, lorsque est pair, ils prennent des valeurs . Pour l'état fondamental, les 's satisfont