Linear response function

A linear response function describes the input-output relationship of a signal transducer, such as a radio turning electromagnetic waves into music or a neuron turning synaptic input into a response. Because of its many applications in information theory, physics and engineering there exist alternative names for specific linear response functions such as susceptibility, impulse response or impedance; see also transfer function. The concept of a Green's function or fundamental solution of an ordinary differential equation is closely related.

Mathematical definition

Denote the input of a system by ${\displaystyle h(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h(t)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(t)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(t)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h(t)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(t)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h(t') <semantics><mrow><mstyle><mi>h</mi><mo>(</mo><msup><mi>t</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h(t')}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \chi (t-t') <semantics><mrow><mstyle><mi>χ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><msup><mi>t</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \chi (t-t')}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (t-t')h(t')+\cdots \,. <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mi>d</mi><msup><mi>t</mi><mo>′</mo></msup><mspace></mspace><mi>χ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><msup><mi>t</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo><mi>h</mi><mo>(</mo><msup><mi>t</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mspace></mspace><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (t-t')h(t')+\cdots \,.}</annotation></semantics></math><img src=$

The explicit term on the right-hand side is the leading order term of a Volterra expansion for the full nonlinear response. If the system in question is highly non-linear, higher order terms in the expansion, denoted by the dots, become important and the signal transducer cannot adequately be described just by its linear response function.

The complex-valued Fourier transform ${\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t) <semantics><mrow><mstyle><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>h</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega }</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle x(t)=\left|{ ilde {\chi }}(\omega ) ight|h_{0}\sin(\omega t+\arg { ilde {\chi }}(\omega ))\,, <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo></mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>h</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x(t)=\left|{ ilde {\chi }}(\omega ) ight|h_{0}\sin(\omega t+\arg { ilde {\chi }}(\omega ))\,,}</annotation></semantics></math><img src=$

with amplitude gain ${\displaystyle |{ ilde {\chi }}(\omega )| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |{ ilde {\chi }}(\omega )|}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \arg { ilde {\chi }}(\omega ) <semantics><mrow><mstyle><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \arg { ilde {\chi }}(\omega )}</annotation></semantics></math><img src=$

Example

Consider a damped harmonic oscillator with input given by an external driving force ${\displaystyle h(t) <semantics><mrow><mstyle><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h(t)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>x</mi><mo>¨</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>γ</mi><mrow><mrow><mover><mi>x</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).}</annotation></semantics></math><img src=$

The complex-valued Fourier transform of the linear response function is given by

${\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega )={\frac {{ ilde {x}}(\omega )}{{ ilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mover><mi>x</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mrow><mover><mi>h</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msubsup><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>−</mo><msup><mi>ω</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>i</mi><mi>γ</mi><mi>ω</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega )={\frac {{ ilde {x}}(\omega )}{{ ilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.}</annotation></semantics></math><img src=$

The amplitude gain is given by the magnitude of the complex number ${\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega ), <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega ),}</annotation></semantics></math><img src=$

From this representation, we see that for small ${\displaystyle \gamma <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega \approx \omega _{0 <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>≈</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Delta \omega , <semantics><mrow><mstyle><mi>Δ</mi><mi>ω</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Delta \omega ,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega _{0}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega _{0},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega <semantics><mrow><mstyle><mi>Q</mi><mo>:=</mo><msub><mi>ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>Δ</mi><mi>ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega }</annotation></semantics></math><img src=$

Kubo formula

L'exposé de la théorie de la réponse linéaire, dans le contexte de la statistique quantique , se trouve dans un article de Ryogo Kubo . Celui-ci définit en particulier la formule de Kubo , qui considère le cas général où la « force » est une perturbation de l'opérateur de base du système, l' hamiltonien , ${\displaystyle {\hat {H}}_{0} o {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t') <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mrow><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mrow><mrow><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><mi>h</mi><mo>(</mo><msup><mi>t</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo><mrow><mrow><mover><mi>B</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><msup><mi>t</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {H}}_{0} o {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\hat {B <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>B</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {B}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\hat {A}}(t) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>UN</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {A}}(t)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \chi (t-t') <semantics><mrow><mstyle><mi>χ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><msup><mi>t</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \chi (t-t')}</annotation></semantics></math><img src=$

En conséquence du principe de causalité , la fonction à valeurs complexes ${\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>χ</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {\chi }}(\omega )}</annotation></semantics></math><img src=$

Formule de réponse linéaire hors équilibre

La théorie de la réponse linéaire comporte des versions pour les processus hors équilibre dans les systèmes ouverts, où il n'y a pas d'équilibre détaillé mais où une excitation ou une agitation constante est appliquée. Une petite perturbation de ces systèmes excités ou actifs engendre une réponse en violation des expressions d'équilibre. Une méthodologie possible repose sur l'utilisation d'ensembles d'espace des trajectoires, où les probabilités des trajectoires sont évaluées ; voir par exemple Les formules de réponse résultantes comportent une partie entropique (similaire au cas de l'équilibre détaillé) et une partie frénétique. Cette dernière prend en compte la corrélation de la frénésie (excédentaire) (due à la perturbation) avec l'observable. À l'équilibre détaillé, les deux contributions fusionnent et reproduisent les formules de Kubo et de Green-Kubo . Hors équilibre détaillé, la contribution frénétique explique la possibilité de capacités thermiques et de mobilités négatives, qui ne mesurent plus une fluctuation, par exemple en termes de variance d'énergie ou de courant.