Effet principal

Dans la conception d'expériences et l'analyse de la variance , un effet principal est l'effet d'une variable indépendante sur une variable dépendante moyennée sur les niveaux de toutes les autres variables indépendantes. Le terme est fréquemment utilisé dans le contexte des plans factoriels et des modèles de régression pour distinguer les effets principaux des effets d'interaction .

Par rapport à un plan factoriel, dans le cadre d'une analyse de variance, un test d'effet principal testera les hypothèses attendues telles que H ₀ , l'hypothèse nulle. L'exécution d'une hypothèse pour un effet principal permettra de vérifier s'il existe des preuves d'un effet de différents traitements. Cependant, un test d'effet principal n'est pas spécifique et ne permettra pas de localiser des comparaisons par paires de moyennes spécifiques (effets simples). Un test d'effet principal examinera simplement si globalement il y a quelque chose dans un facteur particulier qui fait une différence. En d'autres termes, il s'agit d'un test examinant les différences entre les niveaux d'un seul facteur (en faisant la moyenne sur l'autre facteur et/ou les autres facteurs). Les effets principaux sont essentiellement l'effet global d'un facteur.

Définition

Un facteur moyenné sur tous les autres niveaux des effets d'autres facteurs est appelé effet principal (également appelé effet marginal). Le contraste d'un facteur entre les niveaux sur tous les niveaux d'autres facteurs est l'effet principal. La différence entre les moyennes marginales de tous les niveaux d'un facteur est l'effet principal de la variable de réponse sur ce facteur. Les effets principaux sont les principales variables indépendantes ou facteurs testés dans l'expérience. L'effet principal est l'effet spécifique d'un facteur ou d'une variable indépendante quels que soient les autres paramètres de l'expérience. Dans la conception de l'expérience, on l'appelle un facteur, mais dans l'analyse de régression, on l'appelle la variable indépendante.

Estimation des principaux effets

Dans les plans factoriels, donc deux niveaux de facteurs A et B dans un plan factoriel, les principaux effets de deux facteurs, disons A et B, peuvent être calculés. L'effet principal de A est donné par

${\displaystyle A={1 \over 2n}[ab+a-b-1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>[</mo> <mi>un</mi> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>un</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A={1 \over 2n}[ab+ab-1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'effet principal de B est donné par

${\displaystyle B={1 \over 2n}[ab+b-a-1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>[</mo> <mi>un</mi> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>un</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B={1 \over 2n}[ab+ba-1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Où n est le nombre total de réplications. Nous utilisons le niveau de facteur 1 pour désigner le niveau bas et le niveau 2 pour désigner le niveau élevé. La lettre « a » représente la combinaison de facteurs du niveau 2 de A et du niveau 1 de B et « b » représente la combinaison de facteurs du niveau 1 de A et du niveau 2 de B. « ab » représente les deux facteurs au niveau 2. Enfin, 1 représente le moment où les deux facteurs sont définis au niveau 1.

Tests d'hypothèses pour un plan factoriel à deux facteurs.

Considérons un plan factoriel à deux facteurs dans lequel le facteur A a 3 niveaux et le facteur B a 2 niveaux avec seulement 1 réplication. Il y a 6 traitements avec 5 degrés de liberté. dans cet exemple, nous avons deux hypothèses nulles. La première pour le facteur A est : et la seconde pour le facteur B est : . L'effet principal pour le facteur A peut être calculé avec 2 degrés de liberté. Cette variation est résumée par la somme des carrés désignée par le terme SS _A . De même, la variation par rapport au facteur B peut être calculée comme SS _B avec 1 degré de liberté. La valeur attendue pour la moyenne des réponses dans la colonne i est tandis que la valeur attendue pour la moyenne des réponses dans la ligne j est où i correspond au niveau du facteur dans le facteur A et j correspond au niveau du facteur dans le facteur B. et sont les effets principaux. SS _A et SS _B sont les sommes des carrés des effets principaux. Les deux degrés de liberté restants peuvent être utilisés pour décrire la variation qui provient de l'interaction entre les deux facteurs et peuvent être désignés par SS _AB . Un tableau peut montrer la disposition de cette conception particulière avec les principaux effets (où se trouve l'observation du ième niveau du facteur B et du jième niveau du facteur A) : ${\displaystyle H_{0}:\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H_{0}:\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H_{0}:\beta _{1}=\beta _{2}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H_{0} :\beta _{1}=\beta _{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mu +\beta _{j <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>μ</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mu + beta _ {j}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mu +\alpha _{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>μ</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mu + alpha _ {i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha _{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta _{j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta _{j}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{ij <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemple

Prenons un plan factoriel (2 niveaux de deux facteurs) pour tester le classement gustatif du poulet frit dans deux restaurants fast-food. Les dégustateurs doivent classer le poulet de 1 à 10 (le meilleur goût), pour le facteur X : « piquant » et le facteur Y : « croustillant ». Le niveau X1 correspond au poulet « pas épicé » et X2 au poulet « épicé ». Le niveau Y1 correspond au poulet « pas croustillant » et le niveau Y2 au poulet « croustillant ». Supposons que cinq personnes (5 répétitions) aient goûté les quatre types de poulet et aient donné un classement de 1 à 10 pour chacun. Les hypothèses d'intérêt seraient : Le facteur X est : et pour le facteur Y est : . Le tableau des résultats hypothétiques est donné ici : ${\displaystyle 2^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H_{0}:X_{1}=X_{2}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H_{0}:X_{1}=X_{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H_{0}:Y_{1}=Y_{2}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H_{0}:Y_{1}=Y_{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'« effet principal » de X (piquant) lorsque nous sommes à Y1 (pas croquant) est donné comme suit :

${\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{1}]}{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{1}]}{n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]-[X_{1}Y_{2}]}{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]-[X_{1}Y_{2}]}{n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ effet principal global du facteur X, qui résulte comme ci-dessus

formule, écrite ici comme :

${\displaystyle A=X={1 \over 2n}[ab+a-b-1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>[</mo> <mi>un</mi> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>un</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=X={1 \over 2n}[ab+ab-1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]+[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{2}]-[X_{1}Y_{1}]}{2n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]+[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{2}]-[X_{1}Y_{1}] }{2n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De même, pour Y, l’ effet principal global sera :

${\displaystyle B=Y={1 \over 2n}[ab+b-a-1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>[</mo> <mi>un</mi> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>un</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B=Y={1 \sur 2n}[ab+ba-1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]+[X_{1}Y_{2}]-[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{1}]}{2n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {[X_{2}Y_{2}]+[X_{1}Y_{2}]-[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{1}] }{2n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour l'expérience de dégustation de poulet, nous aurions les principaux effets résultants :

${\displaystyle X:{\frac {[25]-[21]+[41]-[23]}{2*5}}=2.2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <mn>25</mn> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <mn>21</mn> <mo>]</mo> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <mn>41</mn> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <mn>23</mn> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>∗</mo> <mn>5</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2.2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X :{\frac {[25]-[21]+[41]-[23]}{2*5}}=2.2}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle Y:{\frac {[41]-[25]+[23]-[21]}{2*5}}=1.8 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <mn>41</mn> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <mn>25</mn> <mo>]</mo> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <mn>23</mn> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>[</mo> <mn>21</mn> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>∗</mo> <mn>5</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1.8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y :{\frac {[41]-[25]+[23]-[21]}{2*5}}=1,8}</annotation> </semantics> </math><img src=$

McBurney, DM, White, TL (2004). Méthodes de recherche . CA : Wadsworth Learning.
Mook, Douglas G. (2001). Recherche psychologique : les idées derrière les méthodes . NY : WW Norton & Company.