Équation de différence de matrice

Une équation de différence de matrice est une équation de différence dans laquelle la valeur d'un vecteur (ou parfois, d'une matrice) de variables à un moment donné est liée à sa propre valeur à un ou plusieurs moments précédents, en utilisant des matrices . L' ordre de l'équation est l'écart de temps maximal entre deux valeurs indiquées du vecteur variable. Par exemple,

est un exemple d'équation de différence de matrice du second ordre, dans laquelle x est un vecteur n × 1 de variables et A et B sont des matrices n × n . Cette équation est homogène car aucun terme de constante vectorielle n'est ajouté à la fin de l'équation. La même équation pourrait également s'écrire comme suit

ou comme

Les équations de différences matricielles les plus fréquemment rencontrées sont du premier ordre.

Un exemple d'équation de différence de matrice du premier ordre non homogène est

avec un vecteur additif constant b . L'état stationnaire de ce système est une valeur x * du vecteur x qui, si elle était atteinte, ne serait pas déviée par la suite. x * est trouvé en posant x _t = x _{t −1} = x * dans l'équation de différence et en résolvant x * pour obtenir

où I est la matrice identité n × n , et où l'on suppose que [ I − A ] est inversible . L'équation non homogène peut alors être réécrite sous forme homogène en termes d'écarts par rapport à l'état stationnaire :

L'équation de différence de matrice du premier ordre [ x _t − x *] = A [ x _{t −1} − x *] est stable — c'est-à-dire que x _t converge asymptotiquement vers l'état stationnaire x * — si et seulement si toutes les valeurs propres de la matrice de transition A (qu'elles soient réelles ou complexes) ont une valeur absolue inférieure à 1.

Supposons que l'équation ait été mise sous la forme homogène y _t = Ay _{t −1} . On peut alors itérer et substituer à plusieurs reprises à partir de la condition initiale y ₀ , qui est la valeur initiale du vecteur y et qui doit être connue pour trouver la solution :

et ainsi de suite, de sorte que par induction mathématique la solution en termes de t est

De plus, si A est diagonalisable, nous pouvons réécrire A en termes de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres , donnant la solution comme

où P est une matrice n × n dont les colonnes sont les vecteurs propres de A (en supposant que les valeurs propres sont toutes distinctes) et D est une matrice diagonale n × n dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de A. Cette solution motive le résultat de stabilité ci-dessus : A ^t se réduit à la matrice nulle au fil du temps si et seulement si les valeurs propres de A sont toutes inférieures à l'unité en valeur absolue.

En partant du système n -dimensionnel y _t = Ay _{t −1} , nous pouvons extraire la dynamique d'une des variables d'état, disons y ₁ . L'équation de solution ci-dessus pour y _t montre que la solution pour y _{1, t} est en termes des n valeurs propres de A . Par conséquent, l'équation décrivant l'évolution de y ₁ par elle-même doit avoir une solution impliquant ces mêmes valeurs propres. Cette description motive intuitivement l'équation d'évolution de y ₁ , qui est

où les paramètres a _i proviennent de l' équation caractéristique de la matrice A :

Ainsi, chaque variable scalaire individuelle d'un système linéaire de premier ordre de dimension n évolue selon une équation de différence univariée de degré n , qui a la même propriété de stabilité (stable ou instable) que l'équation de différence matricielle.

Les équations de différence de matrice d'ordre supérieur, c'est-à-dire avec un décalage temporel supérieur à une période, peuvent être résolues et leur stabilité analysée en les convertissant en forme de premier ordre à l'aide d'une matrice en blocs (matrice de matrices). Par exemple, supposons que nous ayons l'équation du second ordre

avec le vecteur variable x étant n × 1 et A et B étant n × n . Cela peut être empilé sous la forme

où I est la matrice identité n × n et 0 est la matrice nulle n × n . En désignant ensuite le vecteur empilé 2 n × 1 des variables courantes et une fois retardées par z _t et la matrice en blocs 2 n × 2 n par L , nous avons comme précédemment la solution

De même que précédemment, cette équation empilée, et donc l'équation du second ordre d'origine, sont stables si et seulement si toutes les valeurs propres de la matrice L sont inférieures à l'unité en valeur absolue.

Dans le contrôle linéaire-quadratique-gaussien , une équation matricielle non linéaire apparaît pour l'évolution inverse d'une matrice de coûts actuels et futurs , notée ci-dessous H. Cette équation est appelée équation de Riccati dynamique discrète , et elle apparaît lorsqu'un vecteur variable évoluant selon une équation de différence de matrice linéaire est contrôlé en manipulant un vecteur exogène afin d'optimiser une fonction de coût quadratique . Cette équation de Riccati prend la forme suivante, ou une forme similaire :

où H , K et A sont n × n , C est n × k , R est k × k , n est le nombre d'éléments du vecteur à contrôler et k est le nombre d'éléments du vecteur de contrôle. Les matrices de paramètres A et C proviennent de l'équation linéaire et les matrices de paramètres K et R proviennent de la fonction de coût quadratique. Voir ici pour plus de détails.

En général, cette équation ne peut pas être résolue analytiquement pour H _t en termes de t ; la séquence de valeurs pour H _t est plutôt trouvée en itérant l'équation de Riccati. Cependant, il a été montré que cette équation de Riccati peut être résolue analytiquement si R = 0 et n = k + 1 , en la réduisant à une équation aux différences rationnelles scalaires ; de plus, pour tout k et n si la matrice de transition A est non singulière alors l'équation de Riccati peut être résolue analytiquement en termes de valeurs propres d'une matrice, bien que celles-ci puissent devoir être trouvées numériquement.

Dans la plupart des contextes, l'évolution de H dans le temps est stable, ce qui signifie que H converge vers une matrice fixe particulière H * qui peut être irrationnelle même si toutes les autres matrices sont rationnelles. Voir aussi Contrôle stochastique § Temps discret .

Une équation de Riccati connexe est

dans laquelle les matrices X , A , B , C , E sont toutes n × n . Cette équation peut être résolue explicitement. Supposons que cela soit vrai pour t = 0 avec N ₀ = X ₀ et avec D ₀ = I . Ensuite, en utilisant ceci dans l'équation de différence, on obtient

donc par induction la forme est valable pour tout t . Alors l'évolution de N et D peut s'écrire comme

Ainsi par induction