Décomposition matricielle

Dans la discipline mathématique de l'algèbre linéaire , une décomposition matricielle ou factorisation matricielle est une factorisation d'une matrice en un produit de matrices. Il existe de nombreuses décompositions matricielles différentes ; chacune trouve une application dans une classe particulière de problèmes.

Exemple

En analyse numérique , différentes décompositions sont utilisées pour mettre en œuvre des algorithmes matriciels efficaces .

Par exemple, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires , la matrice A peut être décomposée via la décomposition LU . La décomposition LU factorise une matrice en une matrice triangulaire inférieure L et une matrice triangulaire supérieure U. Les systèmes et nécessitent moins d'additions et de multiplications pour être résolus, par rapport au système d'origine , bien que l'on puisse avoir besoin de beaucoup plus de chiffres dans l'arithmétique inexacte comme la virgule flottante . ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A mathbf {x} = mathbf {b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> <mo>(</mo> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle L (U mathbf {x} ) = mathbf {b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>L</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle U mathbf {x} = L ^ {-1} mathbf {b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A mathbf {x} = mathbf {b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De même , la décomposition QR exprime A comme QR avec Q une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire supérieure. Le système Q ( Rx )= b est résolu par Rx = QTb = c , et le système Rx = c est résolu par « substitution inverse ». Le nombre d'additions et de multiplications requises est environ deux fois supérieur ^à celui de l'utilisation du solveur LU, mais aucun chiffre supplémentaire n'est requis en arithmétique inexacte car la décomposition QR est numériquement stable .

Décompositions liées à la résolution de systèmes d'équations linéaires

Décomposition LU

Traditionnellement applicable à : la matrice carrée A , bien que les matrices rectangulaires puissent être applicables.
Décomposition : , où L est triangulaire inférieur et U est triangulaire supérieur . ${\displaystyle A=LU <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=LU}</annotation> </semantics> </math><img src=$
En relation : la décomposition LDU est , où L est triangulaire inférieur avec des uns sur la diagonale, U est triangulaire supérieur avec des uns sur la diagonale et D est une matrice diagonale . ${\displaystyle A=LDU <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>D</mi> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=LDU}</annotation> </semantics> </math><img src=$
En relation : la décomposition LUP est , où L est triangulaire inférieur , U est triangulaire supérieur et P est une matrice de permutation . ${\displaystyle PA=LU <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle PA=LU}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Existence : Une décomposition LUP existe pour toute matrice carrée A . Lorsque P est une matrice identité , la décomposition LUP se réduit à la décomposition LU.
Commentaires : Les décompositions LUP et LU sont utiles pour résoudre un système n x n d'équations linéaires . Ces décompositions résument le processus d' élimination gaussienne sous forme de matrice. La matrice P représente tous les échanges de lignes effectués dans le processus d'élimination gaussienne. Si l'élimination gaussienne produit la forme échelonnée sans nécessiter d'échanges de lignes, alors P = I , donc une décomposition LU existe. ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A mathbf {x} = mathbf {b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Réduction LU

Décomposition LU en blocs

Factorisation de rang

Applicable à : matrice A de rang r de taille m x n
Décomposition : où C est une matrice de rangs de colonnes complètes m x r et F est une matrice de rangs de lignes complètes r x n ${\displaystyle A=CF <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=CF}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : La factorisation de rang peut être utilisée pour calculer le pseudo-inverse de Moore-Penrose de A , que l'on peut appliquer pour obtenir toutes les solutions du système linéaire . ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A mathbf {x} = mathbf {b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Décomposition de Cholesky

Applicable à : carré , hermitien , matrice définie positive ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Décomposition : , où est triangulaire supérieure avec des entrées diagonales positives réelles ${\displaystyle A=U^{*}U <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>Tu</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=U^{*}U}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : si la matrice est hermitienne et semi-définie positive, alors elle a une décomposition de la forme si les éléments diagonaux de sont autorisés à être nuls ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A=U^{*}U <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>Tu</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=U^{*}U}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Unicité : pour les matrices définies positives, la décomposition de Cholesky est unique. Cependant, elle n'est pas unique dans le cas semi-défini positif.
Commentaire : si est réel et symétrique, a tous les éléments réels ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Une alternative est la décomposition LDL , qui peut éviter l'extraction de racines carrées.

Décomposition QR

Applicable à : matrice A m x n avec colonnes linéairement indépendantes
Décomposition : où est une matrice unitaire de taille m par m , et est une matrice triangulaire supérieure de taille m par n ${\displaystyle A=QR <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=QR}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Unicité : En général, il n'est pas unique, mais si est de rang complet , alors il existe un singulier qui possède tous les éléments diagonaux positifs. Si est carré, il est également unique. ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : La décomposition QR fournit un moyen efficace de résoudre le système d'équations . Le fait que soit orthogonal signifie que , donc que est équivalent à , ce qui est très facile à résoudre car est triangulaire . ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A mathbf {x} = mathbf {b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A mathbf {x} = mathbf {b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Factorisation RRQR

Décomposition interpolative

Décompositions basées sur les valeurs propres et concepts associés

Décomposition propre

Également appelée décomposition spectrale .
Applicable à : matrice carrée A avec des vecteurs propres linéairement indépendants (pas nécessairement des valeurs propres distinctes).
Décomposition : , où D est une matrice diagonale formée à partir des valeurs propres de A , et les colonnes de V sont les vecteurs propres correspondants de A . ${\displaystyle A=VDV^{-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mi>D</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=VDV^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Existence : Une matrice n x n A a toujours n valeurs propres (complexes), qui peuvent être ordonnées (de plusieurs façons) pour former une matrice diagonale n x n D et une matrice correspondante de colonnes non nulles V qui satisfait l' équation des valeurs propres . est inversible si et seulement si les n vecteurs propres sont linéairement indépendants (c'est-à-dire que chaque valeur propre a une multiplicité géométrique égale à sa multiplicité algébrique ). Une condition suffisante (mais pas nécessaire) pour que cela se produise est que toutes les valeurs propres soient différentes (dans ce cas, la multiplicité géométrique et algébrique sont égales à 1) ${\displaystyle AV=VD <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle AV=VD}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : On peut toujours normaliser les vecteurs propres pour qu'ils aient une longueur de un (voir la définition de l'équation des valeurs propres)
Commentaire : Toute matrice normale A (c'est-à-dire une matrice pour laquelle , où est une transposée conjuguée ) peut être décomposée en valeurs propres. Pour une matrice normale A (et seulement pour une matrice normale), les vecteurs propres peuvent aussi être rendus orthonormés ( ) et la décomposition en valeurs propres s'écrit . En particulier, toutes les matrices unitaires , hermitiennes ou anti-hermitiennes (dans le cas à valeurs réelles, toutes les matrices orthogonales , symétriques ou anti-symétriques , respectivement) sont normales et possèdent donc cette propriété. ${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle VV^{*}=I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle VV^{*}=I}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A=VDV^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mi>D</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=VDV^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Pour toute matrice symétrique réelle A , la décomposition propre existe toujours et peut s'écrire comme , où D et V sont tous deux à valeurs réelles. ${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mi>D</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : La décomposition propre est utile pour comprendre la résolution d'un système d'équations différentielles ordinaires linéaires ou d'équations aux différences linéaires. Par exemple, l'équation aux différences partant de la condition initiale est résolue par , ce qui est équivalent à , où V et D sont les matrices formées à partir des vecteurs propres et des valeurs propres de A . Puisque D est diagonal, l'élever à la puissance , revient simplement à élever chaque élément de la diagonale à la puissance t . C'est beaucoup plus facile à faire et à comprendre que d'élever A à la puissance t , puisque A n'est généralement pas diagonal. ${\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{0}=c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{0}=c}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{t}=A^{t}c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{t}=A^{t}c}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{t}=VD^{t}V^{-1}c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{t}=VD^{t}V^{-1}c}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle D^{t <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D^{t}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Décomposition de Jordan

La forme normale de Jordan et la décomposition de Jordan–Chevalley

Applicable à : matrice carrée A
Commentaire : la forme normale de Jordan généralise la décomposition des valeurs propres aux cas où il y a des valeurs propres répétées et ne peut pas être diagonalisée, la décomposition de Jordan-Chevalley le fait sans choisir de base.

Décomposition de Schur

Applicable à : matrice carrée A
Décomposition (version complexe) : , où U est une matrice unitaire , est la transposée conjuguée de U , et T est une matrice triangulaire supérieure appelée forme de Schur complexe qui a les valeurs propres de A le long de sa diagonale. ${\displaystyle A=UTU^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mi>T</mi> <msup> <mi>Tu</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=UTU^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Tu</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : si A est une matrice normale , alors T est diagonale et la décomposition de Schur coïncide avec la décomposition spectrale.

Décomposition de Schur réel

Applicable à : matrice carrée A
Décomposition : Il s'agit d'une version de la décomposition de Schur où et ne contiennent que des nombres réels. On peut toujours écrire où V est une matrice orthogonale réelle , est la transposée de V , et S est une matrice triangulaire supérieure par blocs appelée forme de Schur réelle . Les blocs sur la diagonale de S sont de taille 1×1 (auquel cas ils représentent des valeurs propres réelles) ou 2×2 (auquel cas ils sont dérivés de paires de valeurs propres conjuguées complexes ). ${\displaystyle V <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A=VSV^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mi>S</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=VSV^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Décomposition QZ

Également appelée : décomposition de Schur généralisée
Applicable à : matrices carrées A et B
Commentaire : il existe deux versions de cette décomposition : complexe et réelle.
Décomposition (version complexe) : et où Q et Z sont des matrices unitaires , l'exposant * représente la transposée conjuguée , et S et T sont des matrices triangulaires supérieures . ${\displaystyle A=QSZ^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mi>S</mi> <msup> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=QSZ^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B=QTZ^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mi>T</mi> <msup> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B=QTZ^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : dans la décomposition QZ complexe, les rapports des éléments diagonaux de S aux éléments diagonaux correspondants de T , , sont les valeurs propres généralisées qui résolvent le problème des valeurs propres généralisées (où est un scalaire inconnu et v est un vecteur non nul inconnu). ${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mi>B</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A mathbf {v} = lambda B mathbf {v}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \lambda <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Décomposition (version réelle) : et où A , B , Q , Z , S et T sont des matrices contenant uniquement des nombres réels. Dans ce cas, Q et Z sont des matrices orthogonales , l' exposant T représente la transposition et S et T sont des matrices triangulaires supérieures par blocs . Les blocs sur la diagonale de S et T sont de taille 1×1 ou 2×2. ${\displaystyle A=QSZ^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mi>S</mi> <msup> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=QSZ^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B=QTZ^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mi>T</mi> <msup> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B=QTZ^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Factorisation de Takagi

Applicable à : matrice carrée, complexe, symétrique A .
Décomposition : , où D est une matrice diagonale réelle non négative et V est unitaire . désigne la transposée matricielle de V . ${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mi>D</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Les éléments diagonaux de D sont les racines carrées non négatives des valeurs propres de . ${\displaystyle AA^{*}=VD^{2}V^{-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle AA ^ {*} = VD ^ {2} V ^ {-1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : V peut être complexe même si A est réel.
Commentaire : Il ne s'agit pas d'un cas particulier de la décomposition en valeurs propres (voir ci-dessus), qui utilise à la place de . De plus, si A n'est pas réel, il n'est pas hermitien et la forme using ne s'applique pas non plus. ${\displaystyle V^{-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Décomposition en valeur singulière

Applicable à : matrice A de dimensions m x n .
Décomposition : , où D est une matrice diagonale positive et U et V satisfont à . Voici la transposée conjuguée de V (ou simplement la transposée si V ne contient que des nombres réels), et I désigne la matrice identité (de dimension). ${\displaystyle A=UDV^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mi>D</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=UDV^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U^{*}U=I,V^{*}V=I <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Tu</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>Tu</mi> <mo>=</mo> <mi>je</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle U ^ {*} U = I, V ^ {*} V = I}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Les éléments diagonaux de D sont appelés les valeurs singulières de A .
Commentaire : Comme la décomposition en valeurs propres ci-dessus, la décomposition en valeurs singulières implique de trouver les directions de base le long desquelles la multiplication matricielle est équivalente à la multiplication scalaire, mais elle a une plus grande généralité puisque la matrice considérée n'a pas besoin d'être carrée.
Unicité : les valeurs singulières de sont toujours déterminées de manière unique et n'ont pas besoin d'être uniques en général. ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Décompositions invariantes d'échelle

Fait référence aux variantes de décompositions matricielles existantes, telles que la SVD, qui sont invariantes par rapport à la mise à l'échelle diagonale.

Applicable à : matrice A de dimensions m x n .
Décomposition à valeurs singulières invariantes d'échelle unitaire : , où S est une matrice diagonale unique non négative de valeurs singulières invariantes d'échelle, U et V sont des matrices unitaires , est la transposée conjuguée de V , et des matrices diagonales positives D et E . ${\displaystyle A=DUSV^{*}E <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>D</mi> <mi>Tu</mi> <mi>S</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=DUSV^{*}E}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Est analogue à la SVD sauf que les éléments diagonaux de S sont invariants par rapport à la multiplication à gauche et/ou à droite de A par des matrices diagonales non singulières arbitraires, contrairement à la SVD standard pour laquelle les valeurs singulières sont invariantes par rapport à la multiplication à gauche et/ou à droite de A par des matrices unitaires arbitraires.
Commentaire : Il s'agit d'une alternative à la SVD standard lorsque l'invariance est requise par rapport aux transformations diagonales plutôt qu'unitaires de A .
Unicité : Les valeurs singulières invariantes d'échelle de (données par les éléments diagonaux de S ) sont toujours déterminées de manière unique. Les matrices diagonales D et E , et unitaires U et V , ne sont pas nécessairement uniques en général. ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Les matrices U et V ne sont pas les mêmes que celles du SVD.

Des décompositions analogues invariantes d'échelle peuvent être dérivées d'autres décompositions matricielles ; par exemple, pour obtenir des valeurs propres invariantes d'échelle.

Décomposition de Hessenberg

Applicable à : matrice carrée A.
Décomposition : où est la matrice de Hessenberg et est une matrice unitaire . ${\displaystyle A=PHP^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mi>H</mi> <msup> <mi>P</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=PHP^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : souvent la première étape de la décomposition de Schur.

Décomposition orthogonale complète

Également connu sous le nom : décomposition UTV , décomposition ULV , décomposition URV .
Applicable à : matrice A de dimensions m x n .
Décomposition : , où T est une matrice triangulaire , et U et V sont des matrices unitaires . ${\displaystyle A=UTV^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mi>T</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=UTV^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Similaire à la décomposition en valeurs singulières et à la décomposition de Schur.

Autres décompositions

Décomposition polaire

Applicable à : toute matrice carrée complexe A .
Décomposition : (décomposition polaire droite) ou (décomposition polaire gauche), où U est une matrice unitaire et P et P' sont des matrices hermitiennes semi-définies positives . ${\displaystyle A=UP <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=HAUT}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A=P'U <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>P</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=P'U}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Unicité : est toujours unique et égal à (qui est toujours hermitien et semi-défini positif). Si est inversible, alors est unique. ${\displaystyle P <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msqrt> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>UN</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\sqrt {Un^{*}Un}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Tu</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Puisque toute matrice hermitienne admet une décomposition spectrale avec une matrice unitaire, peut s'écrire comme . Puisque est semi-définie positive, tous les éléments de sont non négatifs. Puisque le produit de deux matrices unitaires est unitaire, en prenant 1 on peut écrire qui est la décomposition en valeurs singulières. Par conséquent, l'existence de la décomposition polaire est équivalente à l'existence de la décomposition en valeurs singulières. ${\displaystyle P <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P=VDV^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mi>D</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P=VDV^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle D <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle W=UV <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle W=UV}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A=U(VDV^{*})=WDV^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mi>D</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>D</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A = U (VDV ^ {*}) = WDV ^ {*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Décomposition polaire algébrique

Applicable à : matrice carrée, complexe, non singulière A. ]
Décomposition : , où Q est une matrice orthogonale complexe et S est une matrice symétrique complexe. ${\displaystyle A=QS <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=QS}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Unicité : Si n'a pas de valeurs propres réelles négatives, alors la décomposition est unique. ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : L'existence de cette décomposition équivaut à être semblable à . ${\displaystyle AA^{\mathsf {T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : Une variante de cette décomposition est , où R est une matrice réelle et C est une matrice circulaire. ${\displaystyle A=RC <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=RC}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Décomposition de Mostow

Applicable à : matrice carrée, complexe, non singulière A. [
Décomposition : , où U est unitaire, M est réel antisymétrique et S est réel symétrique. ${\displaystyle A=Ue^{iM}e^{S <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>M</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=Ue^{iM}e^{S}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commentaire : La matrice A peut également être décomposée comme , où U ₂ est unitaire, M ₂ est antisymétrique réel et S ₂ est symétrique réel. ${\displaystyle A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Forme normale du Sinkhorn

Applicable à : matrice réelle carrée A avec des éléments strictement positifs.
Décomposition : , où S est doublement stochastique et D ₁ et D ₂ sont des matrices diagonales réelles à éléments strictement positifs. ${\displaystyle A=D_{1}SD_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>S</mi> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=D_{1}SD_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Décomposition sectorielle

Applicable à : matrice carrée complexe A avec plage numérique contenue dans le secteur . $0,| heta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}} ight\ S_{α} = {r e^{i θ} \in C ∣ r > 0, | θ | \leq α < \frac{π}{2}}$ 0,| heta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\droit\}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79449518008c56c90a23ef0b5b0b22adc807c5cd">
Décomposition : , où C est une matrice complexe inversible et avec tout . ${\displaystyle A=CZC^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>Z</mi> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=CZC^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Z=\operatorname {diag} \left(e^{i heta _{1}},\ldots ,e^{i heta _{n}} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <mi>diag</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Z=\operatorname {diag} \left(e^{i heta _{1}},\ldots ,e^{i heta _{n}} ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \left| heta _{j} ight|\leq \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left| heta _{j} ight|\leq \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$

La forme normale de Williamson

Applicable à : matrice carrée, réelle définie positive A d'ordre 2 n × 2 n .
Décomposition : , où est une matrice symplectique et D est une matrice diagonale n x n non négative. ${\displaystyle A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mi>diag</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>,</mo> <mi>D</mi> <mo>)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S\in { ext{Sp}}(2n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mtext>Sp</mtext> </mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S\in { ext{Sp}}(2n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Racine carrée de la matrice

Décomposition : , pas unique en général. ${\displaystyle A=BB <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=BB}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Dans le cas d'une semi-définie positive , il existe une unique semi-définie positive telle que . ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A=B^{*}B=BB <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=B^{*}B=BB}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Généralisations

Il existe des analogues des factorisations SVD, QR, LU et Cholesky pour les quasimatrices et les matrices continues . [ Une « quasimatrice » est, comme une matrice, un schéma rectangulaire dont les éléments sont indexés, mais dont un indice discret est remplacé par un indice continu. De même, une « matrice continue » est continue dans les deux indices. Comme exemple de matrice, on peut penser au noyau d'un opérateur intégral .

Ces factorisations sont basées sur les premiers travaux de Fredholm (1903), Hilbert (1904) et Schmidt (1907). Pour un compte rendu et une traduction en anglais de ces articles fondateurs, voir Stewart (2011).