Semi-anneau tropical

Dans l'analyse idempotente , le semi-anneau tropical est un semi-anneau de nombres réels étendus avec les opérations de minimum (ou de maximum ) et d'addition remplaçant respectivement les opérations habituelles (« classiques ») d'addition et de multiplication.

Le semi-anneau tropical a diverses applications (voir analyse tropicale ) et constitue la base de la géométrie tropicale . Le nom tropical est une référence à l'informaticien d'origine hongroise Imre Simon , ainsi nommé parce qu'il a vécu et travaillé au Brésil.

Définition

Lemin semi-anneau tropical (oudemi-anneau min-plus oualgèbre min-plus ) est lesemi-anneau(,,), avec les opérations : ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>∪</mo> <mo>{</mo> <mo>+</mo> <mi>∞</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \oplus <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊕</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oplus }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \otimes <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>⊕</mo> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mo>min</mo> <mo>{</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle x\otimes y=x+y. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>⊗</mo> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle x otimes y = x + y.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les opérations et sont appelées respectivement addition tropicale et multiplication tropicale . L'élément d'identité pour est , et l'élément d'identité pour est 0. ${\displaystyle \oplus <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊕</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oplus }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \otimes <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \oplus <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊕</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oplus }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle +\infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>+</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle +\infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \otimes <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math><img src=$

De même, lesemi-anneau tropical max (ousemi-anneau max-plus oualgèbre max-plus ouLe semi-anneau arctique ) est le semi-anneau (,,), avec les opérations : ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>∪</mo> <mo>{</mo> <mo>−</mo> <mi>∞</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \oplus <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊕</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oplus }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \otimes <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>⊕</mo> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mo>max</mo> <mo>{</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle x\otimes y=x+y. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>⊗</mo> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle x otimes y = x + y.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

L'unité de l'élément d'identité pour est , et l'unité de l'élément d'identité pour est 0. ${\displaystyle \oplus <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊕</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oplus }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle -\infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>−</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle -\infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \otimes <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les deux demi-anneaux sont isomorphes sous négation , et généralement l'un d'entre eux est choisi et désigné simplement comme le demi-anneau tropical . Les conventions diffèrent selon les auteurs et les sous-domaines : certains utilisent la convention min , d'autres la convention max . ${\displaystyle x\mapsto -x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>↦</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\mapsto -x}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les deux demi-anneaux tropicaux sont la limite (« tropicalisation », « déquantification ») du demi-anneau logarithmique lorsque la base tend vers l'infini ⁠ ⁠ ${\displaystyle b o \infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mo>→</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b o \infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$ (demi-anneau max-plus) ou vers zéro ⁠ ⁠ ${\displaystyle b o 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b\à 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ (demi-anneau min-plus).

L'addition tropicale est idempotente , donc un semi-anneau tropical est un exemple de semi-anneau idempotent .

Un semi-anneau tropical est également appeléalgèbre tropicale ,bien que cela ne doive pas être confondu avec unealgèbre associativesur un semi-anneau tropical.

L'exponentiation tropicale est définie de la manière habituelle comme des produits tropicaux itérés.

Champs valorisés

Les opérations semi-anneaux tropicales modélisent le comportement des évaluations lors d'une addition et d'une multiplication dans un corps à valeurs réelles . Un corps à valeurs réelles est un corps équipé d'une fonction ${\displaystyle K <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle v:K o \mathbb {R} \cup \{\infty \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>:</mo> <mi>K</mi> <mo>→</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>∪</mo> <mo>{</mo> <mi>∞</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v:K o \mathbb {R} \cup \{\infty \}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

qui satisfait les propriétés suivantes pour tout , dans : ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle K <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle v(a)=\infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v(a)=\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle a=0, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle v (ab) = v (a) + v (b) = v (a) otimes v (b),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>≥</mo> <mo>min</mo> <mo>{</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>⊕</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle v(a) eq v(b). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>≠</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle v (a) neq v (b).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Par conséquent, l'évaluation v est presque un homomorphisme de semi-anneau de K vers le semi-anneau tropical, sauf que la propriété d'homomorphisme peut échouer lorsque deux éléments avec la même évaluation sont additionnés.

Quelques champs de valeur communs :

${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle v(a)=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v(a)=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a eq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a eq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle v(p^{n}a/b)=n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>un</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v(p^{n}a/b)=n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src=$
le corps des séries formelles de Laurent (puissances entières), ou le corps des séries de Puiseux , ou le corps des séries de Hahn , avec une valuation renvoyant le plus petit exposant de apparaissant dans la série. ${\displaystyle K((t)) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K((t))}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle K\{\{t\}\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> <mo>{</mo> <mo>{</mo> <mi>t</mi> <mo>}</mo> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K\{\{t\}\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$