Différence absolue moyenne

Plus précisément, dans le cas discret,

• Pour un échantillon aléatoire de taille n d'une population uniformément distribuée selon Q , par la loi de l'espérance totale , la différence absolue moyenne (empirique) de la séquence des valeurs de l'échantillon y _i , i = 1 à n peut être calculée comme la moyenne arithmétique de la valeur absolue de toutes les différences possibles :

• si Q a une fonction de probabilité discrète f ( y ), où y _i , i = 1 à n , sont les valeurs ayant des probabilités non nulles :

Dans le cas continu,

• si elle possède une fonction de densité de probabilité :

Une autre forme de l'équation est donnée par :

• si a une fonction de répartition cumulative avec une fonction quantile , alors, puisque et , il s'ensuit que :

Lorsque la distribution de probabilité possède une moyenne arithmétique finie et non nulle AM, la différence absolue moyenne relative, parfois notée Δ ou RMD, est définie par

La différence absolue moyenne relative quantifie la différence absolue moyenne par rapport à la valeur de la moyenne et est une grandeur sans dimension . Elle est égale à deux fois le coefficient de Gini , défini à partir de la courbe de Lorenz . Cette relation offre des perspectives complémentaires à la différence absolue moyenne relative et au coefficient de Gini, notamment en proposant des méthodes alternatives de calcul.

La différence absolue moyenne est invariante par translation et par négation, et varie proportionnellement à une mise à l'échelle positive. Autrement dit, si X est une variable aléatoire et c une constante :

• ,
• , et
• .

La différence absolue moyenne relative est invariante par homothétie positive, commute avec la négation et varie par translation proportionnellement au rapport des moyennes arithmétiques originale et translatée. Autrement dit, si X est une variable aléatoire et c une constante :

• ,
• , et
• 0 " $0RMD\left(cX\right)=RMD\left(X\right)\text{pour}c>0$0 .

Si une variable aléatoire a une moyenne positive, alors sa différence absolue moyenne relative sera toujours supérieure ou égale à zéro. Si, de plus, la variable aléatoire ne peut prendre que des valeurs supérieures ou égales à zéro, alors sa différence absolue moyenne relative sera inférieure à 2.

La différence absolue moyenne est le double de l' échelle L (le deuxième moment L ), tandis que l'écart type est la racine carrée de la variance autour de la moyenne (le deuxième moment centré conventionnel ). Les différences entre les moments L et les moments conventionnels apparaissent d'abord en comparant la différence absolue moyenne et l'écart type (le premier moment L et le premier moment conventionnel sont tous deux égaux à la moyenne).

L' écart type et la différence absolue moyenne mesurent tous deux la dispersion, c'est-à-dire la répartition des valeurs d'une population ou des probabilités d'une distribution. La différence absolue moyenne n'est pas définie en fonction d'une mesure de tendance centrale spécifique , contrairement à l'écart type qui est défini en fonction de l'écart à la moyenne arithmétique. L'écart type étant élevé au carré, il tend à accorder plus d'importance aux grandes différences et moins aux petites, comparativement à la différence absolue moyenne. Lorsque la moyenne arithmétique est finie, la différence absolue moyenne l'est également, même si l'écart type est infini. Voir les exemples pour des comparaisons concrètes.

L' écart type de distance, récemment introduit, joue un rôle similaire à la différence absolue moyenne, mais il s'applique aux distances centrées. Voir aussi les statistiques E.

Pour un échantillon aléatoire S issu d'une variable aléatoire X , composé de n valeurs y _i , la statistique

est un estimateur convergent et sans biais de MD( X ). La statistique :

est un estimateur cohérent de RMD( X ), mais n'est pas, en général, sans biais .

Les intervalles de confiance pour RMD( X ) peuvent être calculés à l'aide de techniques d'échantillonnage bootstrap.

En général, il n'existe pas d'estimateur sans biais pour RMD( X ), notamment en raison de la difficulté à trouver une estimation sans biais pour la multiplication par l'inverse de la moyenne. Par exemple, même si l'on sait que l'échantillon est tiré d'une variable aléatoire X ( p ) pour un p inconnu , et que loi de Bernoulli , de sorte que

où les r _{_i} sont des constantes. Ainsi, E( R ( S )) ne peut jamais être égal à RMD( X ( p )) pour tout p compris entre 0 et 1.

Exemples de différence absolue moyenne et de différence absolue moyenne relative

Distribution	Paramètres	Signifier	Écart type	Différence absolue moyenne	Différence absolue moyenne relative
uniforme continu
Normale	;				indéfini
Exponentiel
Pareto	1" $1k>1$1 ;		2" $2\frac{1}{k-1}\sqrt{\frac{k}{k-2}}\text{for}k>2$2
Gamma	;			†	†
Gamma	;
Gamma	;
Gamma	;
Gamma	;
Bernoulli					0" $02(1-p)\text{for}p>0$0
Test t de Student , 2 degrés de liberté					indéfini

† est la fonction bêta