Fonction méromorphe

Dans le domaine mathématique de l'analyse complexe , une fonction méromorphe sur un sous-ensemble ouvertà l'exception d'un ensemble de points isolés , qui sont des pôles de la fonction. Le terme vient du grec meros ( μέρος ), qui signifie « partie » .

Toute fonction méromorphe sur

Intuitivement, une fonction méromorphe est le rapport de deux fonctions régulières (holomorphes). Une telle fonction restera régulière, sauf éventuellement aux points où le dénominateur de la fraction s'annule. Si le dénominateur s'annule en un point donné, la fonction sera alors…

D'un point de vue algébrique, si le domaine de la fonction est connexe , alors l'ensemble des fonctions méromorphes est le corps des fractions du domaine intègre de l'ensemble des fonctions holomorphes. Ceci est analogue à la relation entre les nombres rationnels et les entiers .

Au cours du XXe siècle, le domaine d'étude où le terme est employé et sa signification précise ont évolué. Dans les années 1930, en théorie des groupes , une fonction méromorphe (ou méromorphe ) était une fonction d'un groupe G dans lui-même qui préservait le produit sur le groupe. L' image de cette fonction était appelée automorphisme de G. De même, une fonction homomorphe ( ou homomorphe ) était une fonction entre groupes qui préservait le produit, tandis qu'un homomorphisme était l'image d'un homomorphe. Cette acception du terme est aujourd'hui obsolète, et le terme apparenté de méromorphe n'est plus utilisé en théorie des groupes. Le terme endomorphisme désigne désormais la fonction elle-même, sans que son image ne soit désignée par un nom spécifique.

Une fonction méromorphe n'est pas nécessairement un endomorphisme, puisque les points complexes à ses pôles ne sont pas dans son domaine , mais peuvent être dans son image .

Puisque les pôles sont isolés, il en existe au plus une infinité dénombrable pour une fonction méromorphe. L'ensemble des pôles peut être infini, comme l'illustre la fonction

En utilisant le prolongement analytique pour éliminer les singularités éliminables , les fonctions méromorphes peuvent être additionnées, soustraites, multipliées et le quotientD. Ainsi, si D est connexe, les fonctions méromorphes forment un corps , en fait une extension du corps des nombres complexes .

Dans plusieurs variables complexes , une fonction méromorphe est définie comme étant localement le quotient de deux fonctions holomorphes. Par exemple,

Contrairement à la dimension un, dans les dimensions supérieures, il existe des variétés complexes compactes sur lesquelles il n'existe pas de fonctions méromorphes non constantes, par exemple, la plupart des tores complexes .

• Toutes les fonctions rationnelles , par exemple
• Les fonctions
• La fonction
• La fonction logarithme complexe
• La fonction
• La fonction

Sur une surface de Riemann , tout point admet un voisinage ouvert biholomorphe à un ouvert du plan complexe. On peut ainsi définir la notion de fonction méromorphe pour toute surface de Riemann.

Lorsque D désigne la sphère de Riemann entière , le corps des fonctions méromorphes se réduit au corps des fonctions rationnelles à une variable sur le corps complexe, puisqu'on peut démontrer que toute fonction méromorphe sur la sphère est rationnelle. (Il s'agit d'un cas particulier du principe GAGA .)

Pour toute surface de Riemann , une fonction méromorphe est identique à une fonction holomorphe qui s'envoie sur la sphère de Riemann et qui n'est pas la fonction constante égale à l'infini. Les pôles correspondent aux nombres complexes qui s'envoient vers l'infini.

Sur une surface de Riemann non compacte , toute fonction méromorphe peut être réalisée comme le quotient de deux fonctions holomorphes (définies globalement). En revanche, sur une surface de Riemann compacte, toute fonction holomorphe est constante, tandis qu'il existe toujours des fonctions méromorphes non constantes.

Contrairement aux fonctions méromorphes , qui ne possèdent que des pôles isolés, il n'existe pas de terme universellement établi en analyse complexe pour désigner les fonctions présentant des singularités essentielles. Alors que les fonctions méromorphes sont caractérisées par leurs singularités « régulières », où la fonction diverge vers l'infini, les fonctions présentant des singularités essentielles isolées manifestent un comportement beaucoup plus complexe.

Une fonction présentant des singularités essentielles isolées pourrait être qualifiée d'aporomorphe (du grec ἄπορος aporos, signifiant « impénétrable » ou « mystérieux » ), bien que ce terme ne soit pas encore établi dans la littérature mathématique. Cette désignation refléterait le comportement imprévisible et chaotique de telles fonctions au voisinage de leurs singularités, tel que décrit par le théorème de Casorati-Weierstrass.