Triangle médian

En géométrie euclidienne , le triangle médian ou triangle médian d'un triangle △ ABC est le triangle dont les sommets sont aux milieux des côtés AB, AC, BC du triangle . C'est le cas n = 3 du polygone médian d'un polygone à n côtés. Le triangle médian n'est pas la même chose que le triangle médian , qui est le triangle dont les côtés ont les mêmes longueurs que les médianes de △ ABC .

Chaque côté du triangle médian est appelé segment médian (ou ligne médiane ). En général, un segment médian d'un triangle est un segment de droite qui joint les milieux de deux côtés du triangle. Il est parallèle au troisième côté et a une longueur égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Le triangle médian peut aussi être vu comme l'image du triangle △ ABC transformée par une homothétie centrée sur le centre de rapport -1/2. Ainsi, les côtés du triangle médian sont la moitié et parallèles aux côtés correspondants du triangle ABC. Par conséquent, le triangle médian est inversement semblable et partage le même centre de gravité et les mêmes médianes avec le triangle △ ABC . Il en résulte également que le périmètre du triangle médian est égal au demi-périmètre du triangle △ ABC , et que l' aire est un quart de l'aire du triangle △ ABC . De plus, les quatre triangles en lesquels le triangle d'origine est subdivisé par le triangle médian sont tous mutuellement congruents par SSS , donc leurs aires sont égales et donc l'aire de chacun est 1/4 de l'aire du triangle d'origine.

L' orthocentre du triangle médian coïncide avec le centre du cercle circonscrit du triangle △ ABC . Ce fait fournit un outil pour prouver la colinéarité du centre du cercle circonscrit, du centroïde et de l'orthocentre . Le triangle médian est le triangle podaire du centre du cercle circonscrit. Le cercle à neuf points circonscrit le triangle médian, et donc le centre à neuf points est le centre du cercle circonscrit du triangle médian.

Le point de Nagel du triangle médian est le centre du triangle de référence.

Le triangle médian d'un triangle de référence est congruent au triangle dont les sommets sont les milieux entre l' orthocentre du triangle de référence et ses sommets.

Le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.

Un point à l'intérieur d'un triangle est le centre d'une inellipse du triangle si et seulement si le point se trouve à l'intérieur du triangle médian.

Le triangle médian est le seul triangle inscrit pour lequel aucun des trois autres triangles intérieurs n'a une aire plus petite.

Le triangle de référence et son triangle médian sont des triangles orthologiques .

Soit les longueurs des côtés du triangle. Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle médian sont données par

Si est le triangle médian de alors est le triangle anticomplémentaire ou triangle antimédial de Le triangle anticomplémentaire de est formé de trois droites parallèles aux côtés de : la parallèle à passant par la parallèle à passant par et la parallèle à passant par

Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle anticomplémentaire à sont données par

Le nom de « triangle anticomplémentaire » correspond au fait que ses sommets sont les anticompléments des sommets du triangle de référence. Les sommets du triangle médian sont les compléments de