Méthodes de décodage

${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n <mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x,y <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x,y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d(x,y) <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d(x,y)}</annotation></semantics></math><img src=$

décodage par un observateur idéal

On peut recevoir le message ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{2}^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>∈</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\in \mathbb {F} _{2}^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ le décodage par un observateur idéal génère le mot de code ${\displaystyle y\in C <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>∈</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y\in C}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \mathbb {P} (y{\mbox{ sent}}\mid x{\mbox{ received}}) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>∣</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {P} (y{\mbox{ envoyé}}\mid x{\mbox{ reçu}})}</annotation></semantics></math></span><img src=

Par exemple, une personne peut choisir le mot de code ${\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$

Conventions de décodage

Chaque mot de code n'a pas une probabilité d'apparition fixe : plusieurs mots de code peuvent avoir une probabilité égale de se transformer en message reçu. Dans ce cas, l'expéditeur et le(s) destinataire(s) doivent convenir au préalable d'une convention de décodage. Voici quelques conventions courantes :

Demande de renvoi du mot de passe – requête de répétition automatique .
Choisissez un mot de code aléatoire parmi l'ensemble des mots de code les plus probables qui s'en rapproche le plus.
Si un autre code suit , marquez les parties ambiguës du mot de code comme des effacements et espérez que le code externe les lèvera.
Signalez au système toute erreur de décodage.

Décodage par maximum de vraisemblance

{\displaystyle x\in \mathbb {F} _{2}^{n </span referrerpolicy=

Le décodage par maximum de vraisemblance choisit un mot de code

{\displaystyle y\in C <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>∈</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y\in C}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \mathbb {P} (x{\mbox{ received}}\mid y{\mbox{ sent}}) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>∣</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {P} (x{\mbox{ reçu}}\mid y{\mbox{ envoyé}})}</annotation></semantics></math></span><img src=

c'est-à-dire le mot de code ${\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (x{\mbox{ received}}\mid y{\mbox{ sent}})&{}={\frac {\mathbb {P} (x{\mbox{ received}},y{\mbox{ sent}})}{\mathbb {P} (y{\mbox{ sent}})}}\\&{}=\mathbb {P} (y{\mbox{ sent}}\mid x{\mbox{ received}})\cdot {\frac {\mathbb {P} (x{\mbox{ received}})}{\mathbb {P} (y{\mbox{ sent}})}}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>∣</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>,</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>∣</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo><mo>⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (x{\mbox{ reçu}}\mid y{\mbox{ envoyé}})&{}={\frac {\mathbb {P} (x{\mbox{ reçu}},y{\mbox{ envoyé}})}{\mathbb {P} (y{\mbox{ envoyé}})}}\\&{}=\mathbb {P} (y{\mbox{ envoyé}}\mid x{\mbox{ reçu}})\cdot {\frac {\mathbb {P} (x{\mbox{ reçu}})}{\mathbb {P} (y{\mbox{ envoyé}})}}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Après réparation ${\displaystyle \mathbb {P} (x{\mbox{ received}}) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {P} (x{\mbox{ reçu}})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {P} (y{\mbox{ sent}}) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {P} (y{\mbox{ envoyé}})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {P} (x{\mbox{ received}}\mid y{\mbox{ sent}}) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>∣</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {P} (x{\mbox{ reçu}}\mid y{\mbox{ envoyé}})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {P} (y{\mbox{ sent}}\mid x{\mbox{ received}}) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mrow><mstyle><mtext> envoyé</mtext></mstyle></mrow><mo>∣</mo><mi>x</mi><mrow><mstyle><mtext> reçu</mtext></mstyle></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {P} (y{\mbox{ envoyé}}\mid x{\mbox{ reçu}})}</annotation></semantics></math><img src=$

Comme pour le décodage par observateur idéal, une convention doit être convenue pour le décodage non unique.

Le problème de décodage par maximum de vraisemblance peut également être modélisé comme un problème de programmation linéaire en nombres entiers .

L'algorithme de décodage du maximum de vraisemblance est un cas particulier du problème de « marginalisation d'une fonction produit » qui est résolu en appliquant la loi distributive généralisée .

Décodage à distance minimale

Étant donné un vecteur reçu ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{2}^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>∈</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\in \mathbb {F} _{2}^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ Le décodage à distance minimale sélectionne un mot de code ${\displaystyle y\in C <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>∈</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y\in C}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle d(x,y)=|\{i:x_{i} ot =y_{i}\}| <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>{</mo><mi>je</mi><mo>:</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>≠</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>}</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d(x,y)=|\{i:x_{i} ot =y_{i}\}|}</annotation></semantics></math></span><img src=

c'est-à-dire choisir le mot de code ${\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$

Notez que si la probabilité d'erreur sur un

tableau standard . Cette méthode est pertinente lorsque les conditions suivantes sont réunies :

La probabilité ${\displaystyle p <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p}</annotation></semantics></math><img src=$
Les erreurs sont des événements indépendants – une erreur à un endroit du message n'affecte pas les autres endroits.

Ces hypothèses peuvent être raisonnables pour les transmissions sur un canal binaire symétrique . Elles peuvent s'avérer déraisonnables pour d'autres supports, comme un DVD , où une simple rayure sur le disque peut entraîner une erreur dans de nombreux symboles ou mots de code voisins.

Comme pour les autres méthodes de décodage, une convention doit être convenue pour le décodage non unique.

Décodage des syndromes

Le décodage par syndrome est une méthode très efficace pour décoder un code linéaire sur un canal bruité , c'est-à-dire un canal sujet à des erreurs. En substance, le décodage par syndrome est un décodage à distance minimale utilisant une table de consultation réduite . Ceci est rendu possible par la linéarité du code.

Supposons que ${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>⊂</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle t=\left\lfloor {\frac {d-1}{2}} ight floor <semantics><mrow><mstyle><mi>t</mi><mo>=</mo><mrow><mo>⌊</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>⌋</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle t=\left\lfloor {\frac {d-1}{2}} ight floor }</annotation></semantics></math></span><img src=

erreurs commises par la chaîne (puisque si pas plus de ${\displaystyle t <semantics><mrow><mstyle><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle t}</annotation></semantics></math><img src=$

Supposons maintenant qu'un mot de code ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{2}^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>∈</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\in \mathbb {F} _{2}^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle e\in \mathbb {F} _{2}^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>e</mi><mo>∈</mo><msubsup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e\in \mathbb {F} _{2}^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle z=x+e <semantics><mrow><mstyle><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z=x+e}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle z <semantics><mrow><mstyle><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle |C| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>C</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |C|}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle c\in C <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi><mo>∈</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c\in C}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle d(c,z)\leq d(y,z) <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>d</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d(c,z)\leq d(y,z)}</annotation></semantics></math></span><img src=

pour tous ${\displaystyle y\in C <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>∈</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y\in C}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle Hx=0 <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Hx=0}</annotation></semantics></math></span><img src=

pour tous ${\displaystyle x\in C <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\in C}</annotation></semantics></math><img src=$ syndrome du reçu ${\displaystyle z=x+e <semantics><mrow><mstyle><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z=x+e}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle Hz=H(x+e)=Hx+He=0+He=He <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>H</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>H</mi><mi>e</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mi>H</mi><mi>e</mi><mo>=</mo><mi>H</mi><mi>e</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Hz=H(x+e)=Hx+He=0+He=He}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pour effectuer un décodage ML dans un canal binaire symétrique , il faut consulter une table précalculée de taille ${\displaystyle 2^{n-k <semantics><mrow><mstyle><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2^{n-k}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle He <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mi>e</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle He}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle e <semantics><mrow><mstyle><mi>e</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e}</annotation></semantics></math><img src=$

Notez que cela est déjà d'une complexité nettement inférieure à celle d'un décodage de tableau standard .

Toutefois, en supposant qu'il n'y ait pas plus de ${\displaystyle t <semantics><mrow><mstyle><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle t}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle He <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mi>e</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle He}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle {\begin{matrix}\sum _{i=0}^{t}{\binom {n}{i}}\\\end{matrix <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></munderover><mrow><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow><mfrac><mi>n</mi><mi>je</mi></mfrac><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{matrix}\sum _{i=0}^{t}{\binom {n}{i}}\\\end{matrix}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Décodage de liste

{\displaystyle G </span referrerpolicy=

être le

{\displaystyle k imes n <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k imes n}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle C <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle G <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle G' <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>G</mi><mo>′</mo></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G'}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle G <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle G' <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>G</mi><mo>′</mo></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G'}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle c' <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>c</mi><mo>′</mo></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c'}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle c=mG <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mi>G</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c=mG}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle C <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle m <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle m <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle m=c'G'^{-1 <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi><mo>=</mo><msup><mi>c</mi><mo>′</mo></msup><msup><mi>G</mi><mrow><mo>′</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m=c'G'^{-1}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math></span><img src=

Si ${\displaystyle t <semantics><mrow><mstyle><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle t}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle extstyle {\binom {n-t}{k}}/{\binom {n}{k}}\approx \exp(-tk/n) <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mrow><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow><mi>k</mi></mfrac><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow><mfrac><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow><mo>≈</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>k</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle {\binom {n-t}{k}}/{\binom {n}{k}}\approx \exp(-tk/n)}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette méthode a été améliorée de diverses manières, par exemple par Stern et Canteaut et Sendrier.

Réponse partielle, vraisemblance maximale

Un décodeur de Viterbi utilise l' algorithme de Viterbi pour décoder un flux binaire encodé par correction d'erreurs sans voie de retour (FEC) à l'aide d'un code convolutif . La distance de Hamming est utilisée comme métrique pour les décodeurs de Viterbi à décision binaire. La distance euclidienne au carré est utilisée comme métrique pour les décodeurs à décision souple.

Algorithme de décodage de décision optimal (ODDA)

Algorithme de décodage de décision optimal (ODDA) pour un système TWRC asymétrique.