Volume du mode

Le volume modal peut faire référence à des figures de mérite utilisées pour caractériser les cavités optiques et micro-ondes ou les fibres optiques .

Dans les cavités électromagnétiques

Le volume modal d'une cavité optique ou micro-ondes mesure la concentration spatiale de l' énergie électromagnétique d'un mode de cavité unique . Il s'exprime comme un volume effectif dans lequel la majeure partie de l'énergie associée à un mode électromagnétique est confinée. Différentes expressions peuvent être utilisées pour estimer ce volume :

Le volume qui serait occupé par le mode si sa densité d'énergie électromagnétique était constante et égale à sa valeur maximale

${\displaystyle V_{m}={\frac {\int \epsilon |E|^{2}dV}{ m {{max}(\epsilon |E|^{2})}}}\;\;\;{ m {{or}\;\;\;V_{m}={\frac {\int (|B|^{2}/\mu )\;dV}{ m {{max}(|B|^{2}/\mu ) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>∫</mo><mi>ϵ</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>E</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow><mrow><mrow><mi>m</mi><mi>un</mi><mi>x</mi></mrow><mo>(</mo><mi>ϵ</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>E</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><mrow><mrow><mrow><mi>o</mi><mi>r</mi></mrow><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><msub><mi>V</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>∫</mo><mo>(</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>B</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>μ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow><mrow><mrow><mi>m</mi><mi>un</mi><mi>x</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>B</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>μ</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{m}={\frac {\int \epsilon |E|^{2}dV}{ m {{max}(\epsilon |E|^{2})}}}\;\;\;{ m {{ou}\;\;\;V_{m}={\frac {\int (|B|^{2}/\mu )\;dV}{ m {{max}(|B|^{2}/\mu )}}}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Le volume sur lequel la densité d'énergie électromagnétique dépasse un certain seuil (par exemple, la moitié de la densité d'énergie maximale)

${\frac {|E_{max}|^{2}}{2}} ight)dV V_{m} = \int (| E |^{2} > \frac{| E_{m un x} |^{2}}{2}) d V$ {\frac {|E_{max}|^{2}}{2}} ight)dV

Le volume qui serait occupé par le mode si sa densité d'énergie électromagnétique était constante et égale à une valeur moyenne pondérée qui met l'accent sur les densités d'énergie plus élevées.

${\displaystyle V_{m}={\frac {(\int |E|^{2}dV)^{2}}{\int |E|^{4}dV}}\;\;\;{ m {{or}\;\;\;V_{m}={\frac {(\int |B|^{2}dV)^{2}}{\int |B|^{4}dV <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>∫</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>E</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>d</mi><mi>V</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mo>∫</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>E</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow></mfrac></mrow><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><mrow><mrow><mrow><mi>o</mi><mi>r</mi></mrow><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><msub><mi>V</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>∫</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>B</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>d</mi><mi>V</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mo>∫</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>B</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{m}={\frac {(\int |E|^{2}dV)^{2}}{\int |E|^{4}dV}}\;\;\;{ m {{ou}\;\;\;V_{m}={\frac {(\int |B|^{2}dV)^{2}}{\int |B|^{4}dV}}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

où ${\displaystyle E <semantics><mrow><mstyle><mi>E</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle B <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \epsilon <semantics><mrow><mstyle><mi>ϵ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \epsilon }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \max(\cdots ) <semantics><mrow><mstyle><mo>max</mo><mo>(</mo><mo>⋯</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \max(\cdots )}</annotation></semantics></math><img src=$

Le volume modal d'une cavité ou d'un résonateur revêt une importance particulière en électrodynamique quantique des cavités , où il détermine l'amplitude de l' effet Purcell et la force de couplage entre les photons de la cavité et les atomes qui s'y trouvent. En particulier, le facteur de Purcell est donné par

{\displaystyle F_{ m {P}}={\frac {3}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{ m {free}}}{n}} ight)^{3}{\frac {Q}{V_{m}}}\,, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mrow><mn>4</mn><msup><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><msub><mi>λ</mi><mrow><mrow><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub><mi>n</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mrow><mfrac><mi>Q</mi><msub><mi>V</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mfrac></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{ m {P}}={\frac {3}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{ m {free}}}{n}} ight)^{3}{\frac {Q}{V_{m}}}\,,}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle \lambda _{ m {free <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>λ</mi><mrow><mrow><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda _{ m {libre}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \lambda _{ m {free}}/n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>λ</mi><mrow><mrow><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda _{ m {libre}}/n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Q <semantics><mrow><mstyle><mi>Q</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Q}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V_{m <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{m}}</annotation></semantics></math><img src=$

En fibre optique

En fibre optique , le volume de mode est le nombre de modes liés qu'une fibre optique est capable de supporter.

Le volume modal M est approximativement donné par ${\displaystyle V^{2} \over 2 <semantics><mrow><mfrac><mstyle><msup><mi>V</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle><mn>2</mn></mfrac></mrow><annotation>{\displaystyle V^{2} \over 2}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {V^{2} \over 2}\left({g \over g+2} ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><msup><mi>V</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>g</mi><mrow><mi>g</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {V^{2} \over 2}\left({g \over g+2} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ g est le paramètre de profil et V est la fréquence normalisée , qui doit être supérieure à 5 pour que cette approximation soit valide .