Distribution semi-normale modifiée

En théorie des probabilités et en statistique , la distribution semi-normale modifiée (MHN) est une famille à trois paramètres de distributions de probabilité continues , définies sur la partie positive de l'ensemble réel. Elle peut être vue comme une généralisation de plusieurs familles, notamment la distribution semi-normale , la distribution normale tronquée , la distribution gamma et la racine carrée de la distribution gamma, qui sont toutes des cas particuliers de la distribution MHN. Elle constitue ainsi un modèle de probabilité flexible pour l'analyse de données réelles positives. Son nom est inspiré par la similarité de sa fonction de densité avec celle de la distribution semi-normale.

En plus d'être utilisée comme modèle de probabilité, la distribution MHN apparaît également dans les procédures bayésiennes basées sur la chaîne de Markov Monte Carlo (MCMC) , y compris la modélisation bayésienne des données directionnelles, la régression binaire bayésienne et la modélisation graphique bayésienne .

En analyse bayésienne, les nouvelles distributions apparaissent souvent comme une distribution a posteriori conditionnelle ; leur utilisation est souvent trop contextuelle et leur portée peut être limitée dans un contexte plus large. De plus, nombre de ces distributions ne disposent pas d'une représentation exploitable de leurs caractéristiques, comme la forme fonctionnelle connue de la constante de normalisation . Cependant, la distribution MHN est présente dans divers domaines de recherche, ce qui témoigne de sa pertinence pour la modélisation statistique bayésienne contemporaine et les calculs associés.

Les moments (y compris la variance et l'asymétrie ) de la distribution MHN peuvent être représentés par les fonctions Psi de Fox-Wright . Il existe une relation de récurrence entre les trois moments consécutifs de la distribution ; ceci est utile pour développer une approximation efficace de la moyenne de la distribution, ainsi que pour construire une estimation de ses paramètres basée sur les moments.

Définitions

La fonction de densité de probabilité de la distribution semi-normale modifiée est $0 f (x) = \frac{2 β^{α / 2} x^{α - 1} \exp (- β x^{2} + γ x)}{Ψ (\frac{α}{2}, \frac{γ}{\sqrt{β}})} pour x > 0$ 0 où ${\displaystyle \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}({\frac {\alpha }{2}},{\frac {1}{2}})\\(1,0)\end{matrix}};{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight] <semantics><mrow><mstyle><mi>Ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mi>γ</mi><msqrt><mi>β</mi></msqrt></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>Ψ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mrow><mo>[</mo><mrow><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>;</mo><mrow><mfrac><mi>γ</mi><msqrt><mi>β</mi></msqrt></mfrac></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}({\frac {\alpha }{2}},{\frac {1}{2}})\\(1,0)\end{matrix}};{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight]}</annotation></semantics></math><img src=$

La fonction de répartition cumulative (CDF) est ${\displaystyle F_{_{ ext{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2} ight){ ext{ for }}x\geq 0, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><msub><mi></mi><mrow><mtext>MHN</mtext></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>∣</mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>β</mi><mo>,</mo><mi>γ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mi>β</mi><mrow><mi>α</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>Ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mi>γ</mi><msqrt><mi>β</mi></msqrt></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><msup><mi>γ</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mrow><mn>2</mn><mi>je</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow><msup><mi>β</mi><mrow><mo>−</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>je</mi><mo>)</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>γ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>je</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mi>β</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mtext> pour </mtext></mrow><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{_{ ext{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2} ight){ ext{ for }}x\geq 0,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gamma (s,y)=\int _{0}^{y}t^{s-1}e^{-t}\,dt <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msubsup><msup><mi>t</mi><mrow><mi>s</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma (s,y)=\int _{0}^{y}t^{s-1}e^{-t}\,dt}</annotation></semantics></math><img src=$

Propriétés

La distribution semi-normale modifiée est une famille de distributions exponentielles et hérite donc des propriétés des familles exponentielles.

Moments

Laisser ${\displaystyle X\sim { ext{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma ) <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>∼</mo><mrow><mtext>MHN</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>β</mi><mo>,</mo><mi>γ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X\sim { ext{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k\geq 0 <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k\geq 0}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 α + k > 0$ 0 Ensuite, le ${\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math><img src=$ ce moment est ${\displaystyle E(X^{k})={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +k}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)}{\beta ^{k/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)}}. <semantics><mrow><mstyle><mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>Ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mi>γ</mi><msqrt><mi>β</mi></msqrt></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msup><mi>β</mi><mrow><mi>k</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>Ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mi>γ</mi><msqrt><mi>β</mi></msqrt></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E(X^{k})={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +k}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)}{\beta ^{k/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)}}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E(X^{k+2})={\frac {\alpha +k}{2\beta }}E(X^{k})+{\frac {\gamma }{2\beta }}E(X^{k+1}). <semantics><mrow><mstyle><mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mfrac><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E(X^{k+2})={\frac {\alpha +k}{2\beta }}E(X^{k})+{\frac {\gamma }{2\beta }}E(X^{k+1}).}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha }{2\beta }}+E(X)\left({\frac {\gamma }{2\beta }}-E(X) ight). <semantics><mrow><mstyle><mi>Var</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha }{2\beta }}+E(X)\left({\frac {\gamma }{2\beta }}-E(X) ight).}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma +t}{\sqrt {\beta }}} ight)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)}}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>M</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>Ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>γ</mi><mo>+</mo><mi>t</mi></mrow><msqrt><mi>β</mi></msqrt></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>Ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mi>γ</mi><msqrt><mi>β</mi></msqrt></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma +t}{\sqrt {\beta }}} ight)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}} ight)}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Caractérisation modale

Considérer ${\displaystyle { ext{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>MHN</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>β</mi><mo>,</mo><mi>γ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 α > 0$ 0 , $0 β > 0$ 0 , et ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$

Si ${\displaystyle \alpha \geq 1 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha \geq 1}</annotation></semantics></math><img src=$
Si $1 α > 1$ 1 , alors le mode de la distribution est situé à ${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>γ</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>β</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></msqrt></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}</annotation></semantics></math><img src=$
Si $0 γ > 0$ 0 et ${\displaystyle 1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}\leq \alpha <1 <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mn>8</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>≤</mo><mi>α</mi><mo><</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}\leq \alpha <1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>γ</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>β</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></msqrt></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>γ</mi><mo>−</mo><mrow><msqrt><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>β</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></msqrt></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}</annotation></semantics></math><img src=$
La fonction de densité diminue progressivement sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+ <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>+</mo></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 γ > 0$ 0 , ${\displaystyle 0<\alpha <1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo><</mo><mi>α</mi><mo><</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mn>8</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0<\alpha <1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gamma <0,\alpha \leq 1 <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo><</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>α</mi><mo>≤</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma <0,\alpha \leq 1}</annotation></semantics></math><img src=$

Propriétés supplémentaires impliquant le mode et les valeurs attendues

Si $1 α > 1$ 1 , alors ${\displaystyle X_{ ext{mode}}\leq E(X)\leq {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>X</mi><mrow><mtext>mode</mtext></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>γ</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>α</mi><mi>β</mi></msqrt></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X_{ ext{mode}}\leq E(X)\leq {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E(X) <semantics><mrow><mstyle><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E(X)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$

En revanche, si $0 γ > 0$ 0 et ${\displaystyle \alpha \geq 4 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>≥</mo><mn>4</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha \geq 4}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \log(X_{ ext{mode}})\leq E(\log(X))\leq \log \left({\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }} ight). <semantics><mrow><mstyle><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mtext>mode</mtext></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>γ</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>α</mi><mi>β</mi></msqrt></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \log(X_{ ext{mode}})\leq E(\log(X))\leq \log \left({\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }} ight).}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 α > 0$ 0 , $0 β > 0$ 0 , et ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ext{Var}}(X)\leq {\frac {1}{2\beta <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Var</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>β</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Var}}(X)\leq {\frac {1}{2\beta }}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha \geq 4 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>≥</mo><mn>4</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha \geq 4}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X_{ ext{mode}}\leq E(X) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>X</mi><mrow><mtext>mode</mtext></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X_{ ext{mode}}\leq E(X)}</annotation></semantics></math><img src=$

Représentation du mélange

Laisser ${\displaystyle X\sim \operatorname {MHN} (\alpha ,\beta ,\gamma ) <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>∼</mo><mi>MHN</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>β</mi><mo>,</mo><mi>γ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X\sim \operatorname {MHN} (\alpha ,\beta ,\gamma )}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 γ > 0$ 0 , alors il existe une variable aléatoire ${\displaystyle V <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V\mid X\sim \operatorname {Poisson} (\gamma X) <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi><mo>∣</mo><mi>X</mi><mo>∼</mo><mi>Poisson</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>γ</mi><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V\mid X\sim \operatorname {Poisson} (\gamma X)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X^{2}\mid V\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {\alpha +V}{2}},\beta ight) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>X</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>∣</mo><mi>V</mi><mo>∼</mo><mi>Gamma</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>V</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mi>β</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X^{2}\mid V\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {\alpha +V}{2}},\beta ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gamma <0 <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo><</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma <0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle U <semantics><mrow><mstyle><mi>U</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle U}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle U\mid X\sim { ext{GIG}}\left({\frac {1}{2}},1,\gamma ^{2}X^{2} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>U</mi><mo>∣</mo><mi>X</mi><mo>∼</mo><mrow><mtext>CABRIOLET</mtext></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>X</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle U\mid X\sim { ext{GIG}}\left({\frac {1}{2}},1,\gamma ^{2}X^{2} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X^{2}\mid U\sim { ext{Gamma}}\left({\frac {\alpha }{2}},\left(\beta +{\frac {\gamma ^{2}}{U}} ight) ight) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>X</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>∣</mo><mi>U</mi><mo>∼</mo><mrow><mtext>Gamma</mtext></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>α</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>β</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>U</mi></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X^{2}\mid U\sim { ext{Gamma}}\left({\frac {\alpha }{2}},\left(\beta +{\frac {\gamma ^{2}}{U}} ight) ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ext{GIG <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>CABRIOLET</mtext></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{GIG}}}</annotation></semantics></math><img src=$