Fonction lambda modulaire

En mathématiques , la fonction lambda modulaire λ(τ) fonction holomorphe hautement symétrique sur le demi-plan supérieur complexe . Elle est invariante sous l'action linéaire fractionnaire du groupe de congruence Γ(2), et engendre le corps de fonctions du quotient correspondant, c'est-à-dire qu'elle est un Hauptmodul pour la courbe modulaire X (2). Sur tout point τ, sa valeur peut être décrite comme un rapport croisé des points de branchement d'un double recouvrement ramifié de la droite projective par la courbe elliptique , où l'application est définie comme le quotient par l'involution [−1].

Le q-développement, où est le nome , est donné par :

OEIS : A115977

En symétrisant la fonction lambda sous l'action canonique du groupe symétrique S ₃ sur X (2), puis en normalisant convenablement, on obtient une fonction sur le demi-plan supérieur qui est invariante sous le groupe modulaire complet , et qui est en fait la fonction j-invariante modulaire de Klein .

La fonction est invariante sous le groupe engendré par

Les générateurs du groupe modulaire agissent par

Par conséquent, l'action du groupe modulaire sur est celle du groupe anharmonique , donnant les six valeurs du rapport croisé :

Il s'agit du carré du module elliptique, c'est-à-dire . En termes de fonction eta de Dedekind et de fonctions thêta ,

et,

où

En termes de demi-périodes des fonctions elliptiques de Weierstrass , soit une paire fondamentale de périodes avec .

nous avons

Étant donné que les trois valeurs de demi-période sont distinctes, cela montre que cela ne prend pas la valeur 0 ou 1.

La relation avec le j-invariant est

qui est le j -invariant de la courbe elliptique de forme Legendre

Étant donné , soit

où est l' intégrale elliptique complète de première espèce de paramètre . Alors

L' équation modulaire de degré (où est un nombre premier) est une équation algébrique en et . Si et , les équations modulaires de degrés sont respectivement

La quantité (et donc ) peut être considérée comme une fonction holomorphe sur le demi-plan supérieur : $0\mathrm{Im}\tau >0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cbb8e8cc06392e462125f6bbe9c9cfe4906bae">

Étant donné que , les équations modulaires peuvent être utilisées pour donner des valeurs algébriques de pour tout nombre premier . Les valeurs algébriques de sont également données par

où est le sinus de la lemniscate et est la constante de la lemniscate .

La fonction (où ) donne la valeur du module elliptique , pour lequel l' intégrale elliptique complète de première espèce et sa contrepartie complémentaire sont liées par l'expression suivante :

Les valeurs de peuvent être calculées comme suit :

Les fonctions et sont liées entre elles de cette manière :

Toute valeur d'un nombre rationnel positif est un nombre algébrique positif :

L'expression suivante est valable pour tout :

où est la fonction elliptique de Jacobi delta amplitudinis de module .

En connaissant une valeur, cette formule peut être utilisée pour calculer des valeurs associées :

où et est la fonction elliptique de Jacobi sinus amplitudinis de module .

Autres relations :

Les invariants de classe de Ramanujan et sont définis comme

où . Pour un tel , les invariants de classe sont des nombres algébriques. Par exemple

Les identités avec les invariants de classe incluent

Les invariants de classe sont très étroitement liés aux fonctions modulaires de Weber et . Voici les relations entre lambda-star et les invariants de classe :

La fonction lambda est utilisée dans la preuve originale du théorème de Little Picard , selon lequel une fonction entière non constante sur le plan complexe ne peut omettre plus d'une valeur. Ce théorème a été prouvé par Picard en 1879. Supposons si possible que f soit entière et ne prenne pas les valeurs 0 et 1. Puisque λ est holomorphe, elle a un inverse holomorphe local ω défini à partir de 0,1,∞. Considérons la fonction z → ω( f ( z )). Par le théorème de monodromie, celle-ci est holomorphe et fait correspondre le plan complexe C au demi-plan supérieur. À partir de là, il est facile de construire une fonction holomorphe de C au disque unité, qui, par le théorème de Liouville, doit être constante.

La fonction est le Hauptmodul normalisé pour le groupe , et son q -développement , OEIS : A007248 où , est le caractère gradué de tout élément de la classe de conjugaison 4C du groupe des monstres agissant sur l' algèbre des sommets des monstres .