Analyse multi-échelle

En mathématiques et en physique , l'analyse multi-échelle (également appelée méthode des échelles multiples ) comprend des techniques utilisées pour construire des approximations uniformément valides des solutions de problèmes de perturbation , à la fois pour les petites et les grandes valeurs des variables indépendantes . Cela se fait en introduisant des variables à échelle rapide et à échelle lente pour une variable indépendante, puis en traitant ces variables, rapides et lentes, comme si elles étaient indépendantes. Dans le processus de résolution du problème de perturbation, la liberté supplémentaire résultante – introduite par les nouvelles variables indépendantes – est utilisée pour supprimer les termes séculaires (indésirables) . Ce dernier impose des contraintes sur la solution approximative, qui sont appelées conditions de solvabilité .

Les recherches mathématiques menées dans les années 1980 suggèrent que les transformées de coordonnées et les variétés invariantes fournissent un support plus solide pour la modélisation multi-échelle (par exemple, voir variété centrale et variété lente ).

A titre d'exemple de méthode d'analyse multi-échelle, considérons l' équation de Duffing non amortie et non forcée : équation différentielle ordinaire du second ordre décrivant un oscillateur non linéaire . Une solution y ( t ) est recherchée pour les petites valeurs du paramètre de non-linéarité (positif) 0 < ε ≪ 1. L'équation de Duffing non amortie est connue pour être un système hamiltonien : avec q = y ( t ) et p = dy / dt . Par conséquent, l'hamiltonien H ( p , q ) est une quantité conservée, une constante, égale à H = ⁠1/2+ ​ ​1/4⁠ ε pour les conditions initiales données . Cela implique que y et dy / dt doivent être tous deux délimités :

Une approche régulière du problème par séries de perturbations consiste à écrire et à substituer ceci dans l'équation de Duffing non amortie. La correspondance des puissances de donne le système d'équations

La résolution de ces conditions initiales donne

Notez que le dernier terme entre les crochets est séculaire : il croît sans limite pour les grands | t |. En particulier, ce terme est O (1) et a le même ordre de grandeur que le terme d'ordre dominant. Comme les termes sont devenus désordonnés, la série n'est plus un développement asymptotique de la solution.

Pour construire une solution valable au-delà de , la méthode d' analyse multi-échelle est utilisée. Introduisons l'échelle lente t ₁ : et supposons que la solution y ( t ) est une solution de série de perturbations dépendant à la fois de t et de t ₁ , traitée comme :

Donc : en utilisant dt ₁ / dt = ε . De même :

Les problèmes d'ordre zéro et du premier ordre de la série de perturbations à échelles multiples pour l'équation de Duffing deviennent alors :

Le problème d'ordre zéro a la solution générale suivante : avec A ( t ₁ ) une amplitude à valeur complexe à la solution d'ordre zéro Y ₀ ( t , t ₁ ) et i ² = −1. Maintenant, dans le problème du premier ordre, le forçage dans le côté droit de l'équation différentielle est où cc désigne le conjugué complexe des termes précédents. L'apparition de termes séculaires peut être évitée en imposant à l'amplitude A ( t ₁ ) - encore inconnue - la condition de solvabilité

La solution à la condition de solvabilité, satisfaisant également les conditions initiales y (0) = 1 et dy / dt (0) = 0 , est :

En conséquence, la solution approximative obtenue par l'analyse multi-échelles utilise t ₁ = εt et est valable pour εt = O(1) . Cela concorde avec les changements de fréquence non linéaires trouvés en utilisant la méthode de Lindstedt–Poincaré .

Cette nouvelle solution est valable jusqu'en . Les solutions d'ordre supérieur – utilisant la méthode des échelles multiples – nécessitent l'introduction d'échelles lentes supplémentaires, c'est-à-dire t ₂ = ε ² t , t ₃ = ε ³ t , etc. Cependant, cela introduit des ambiguïtés possibles dans la solution de la série de perturbations, qui nécessitent un traitement prudent (voir Kevorkian & Cole 1996 ; Bender & Orszag 1999).

Alternativement, les approches modernes dérivent ces types de modèles en utilisant des transformations de coordonnées, comme dans la méthode des formes normales , comme décrit ci-après.

Une solution est recherchée dans de nouvelles coordonnées où l'amplitude varie lentement et la phase varie à un rythme presque constant, à savoir L'algèbre simple trouve la transformée de coordonnées transforme l'équation de Duffing en la paire selon laquelle le rayon est constant et la phase évolue selon

Autrement dit, les oscillations de Duffing sont d'amplitude constante mais ont des fréquences différentes selon l'amplitude.

Les exemples plus difficiles sont mieux traités à l'aide d'une transformation de coordonnées dépendante du temps impliquant des exponentielles complexes (comme également invoqué dans l'approche à échelles de temps multiples précédente). Un service Web effectuera l'analyse pour une large gamme d'exemples.