Worldlex Wiki En algèbre abstraite , un ensemble multiplicativement fermé (ou ensemble multiplicatif ) est un sous-ensemble S d'un anneau R tel que les deux conditions suivantes soient remplies :
En d'autres termes, S est fermé en prenant des produits finis, y compris le produit vide 1. De manière équivalente, un ensemble multiplicatif est un sous-monoïde du monoïde multiplicatif d'un anneau.
Les ensembles multiplicatifs sont particulièrement importants en algèbre commutative , où ils sont utilisés pour construire des localisations d'anneaux commutatifs.
Un sous-ensemble S d'un anneau R est dit saturé s'il est fermé en prenant des diviseurs : c'est-à-dire que chaque fois qu'un produit xy est dans S , les éléments x et y sont aussi dans S.
Exemples
Voici des exemples d’ensembles multiplicatifs :
- le complément ensembliste d'un idéal premier dans un anneau commutatif ;
- l'ensemble {1, x , x 2 , x 3 , ...} , où x est un élément d'un anneau ;
- l'ensemble des unités d'un anneau;
- l'ensemble des diviseurs non nuls dans un anneau ;
- 1 + I pour un idéal I ;
- les nombres de Jordan–Pólya , la clôture multiplicative des factorielles .
Propriétés
- Un idéal P d'un anneau commutatif R est premier si et seulement si son complément R \ P est multiplicativement fermé.
- Un sous-ensemble S est à la fois saturé et multiplicativement fermé si et seulement si S est le complémentaire d'une union d'idéaux premiers. En particulier, le complémentaire d'un idéal premier est à la fois saturé et multiplicativement fermé.
- L'intersection d'une famille d'ensembles multiplicatifs est un ensemble multiplicatif.
- L'intersection d'une famille d'ensembles saturés est saturée.