Espace linéaire partiel

Un espace linéaire partiel (également appelé espace semi-linéaire ou quasi-linéaire ) est une structure d'incidence élémentaire en géométrie d'incidence, présentant une structure légèrement moins complexe qu'un espace linéaire . Cette notion est équivalente à celle d'un hypergraphe linéaire .

Définition

Laisser ${\displaystyle S=({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},{ extbf {I}}) <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mtext>je</mtext></mrow></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle S = ({ mathcal {P}}, { mathcal {L}}, { textbf {I}}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {P <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation></semantics></math><img src=$ points et les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {L <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation></semantics></math><img src=$ droites . S est un espace linéaire partiel si les axiomes suivants sont vérifiés :

Toute ligne est incidente à au moins deux points
Toute paire de points distincts est incidente à au plus une ligne

S'il existe une droite unique incidente à chaque paire de points distincts, alors on obtient un espace linéaire.

Propriétés

Le théorème de De Bruijn–Erdős montre que dans tout espace linéaire fini ${\displaystyle S=({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},{ extbf {I}}) <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mtext>je</mtext></mrow></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle S = ({ mathcal {P}}, { mathcal {L}}, { textbf {I}}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|\leq |{\mathcal {L}}| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |{\mathcal {P}}|\leq |{\mathcal {L}}|}</annotation></semantics></math><img src=$

Exemples

Shult, Ernest E. (2011), Points et lignes , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN978-3-642-15626-7.

Lynn Batten : Combinatoire des géométries finies . Cambridge University Press, 1986, ISBN0-521-31857-2, p. 1-22
Lynn Batten et Albrecht Beutelspacher : La théorie des espaces linéaires finis. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
Eric Moorhouse : Géométrie d'incidence . Notes de cours (archivées)