Intervalle de hauteur

Dans la théorie des ensembles musicaux , il existe quatre types d’intervalles :

• Intervalle de hauteur ordonné
• Intervalle de hauteur non ordonné
• Intervalle ordonné de classe de hauteur tonale
• Intervalle de classe de hauteur non ordonné

L'intervalle de hauteur ordonné est le nombre de demi-tons qui séparent une hauteur d'une autre, vers le haut ou vers le bas. Il est donc plus spécifique que l'intervalle de hauteur non ordonné dans la mesure où il représente la directionnalité de l'intervalle. Un intervalle de hauteur ordonné comprend toujours un signe plus ou moins. Ainsi, ce type d'intervalle peut décrire un intervalle mélodique aussi bien qu'harmonique.

L'intervalle de hauteur non ordonné n'inclut pas d'informations de directionnalité et est donc moins spécifique que l'intervalle de hauteur ordonné. Il s'agit toujours de la distance entre deux hauteurs mesurée en demi-tons, mais cette distance n'est pas qualifiée par un symbole positif (+) ou négatif (-). Un intervalle de hauteur non ordonné peut décrire un intervalle harmonique mais pas un intervalle mélodique.

Les deux types d'intervalles de hauteur décrivent les informations d'octave dans la mesure où ils ne considèrent pas toutes les octaves comme équivalentes. Les intervalles de hauteur, ordonnés ou non, peuvent donc être supérieurs à 12.

En considérant toutes les octaves comme équivalentes, les classes de hauteur contiennent moins d'informations (ex : 'C') que les hauteurs ( ex : C3). Les intervalles de classes de hauteur (ci-dessous) ne sont donc jamais supérieurs à 12 demi-tons.

Dans la théorie des ensembles musicaux, les intervalles de classes de hauteur ne font pas de distinction entre les octaves puisque les classes de hauteur elles-mêmes traitent toutes les octaves comme étant équivalentes.

Il existe deux types d'intervalles de classe de hauteur :

• intervalle ordonné de classe de hauteur tonale (également appelé classe d'intervalle de hauteur tonale - PIC)
• intervalle de classe de hauteur non ordonné (également appelé « classe d'intervalle »)

L'intervalle ordonné de classe de hauteur décrit le nombre de demi-tons ascendants d'une classe de hauteur à la suivante, classés du plus bas au plus haut .

Les classes de hauteur ayant une équivalence d'octave, l'intervalle ordonné des classes de hauteur peut être calculé mathématiquement comme « la valeur absolue de la différence entre les deux classes de hauteur modulo 12 ». Voir les équations ci-dessous. Une façon plus visuelle de faire ce calcul est de placer les classes de hauteur sur un cadran d'horloge et de mesurer la différence, toujours dans le sens des aiguilles d'une montre (c'est-à-dire toujours en sens ascendant).

Contrairement à l'intervalle ordonné, l'intervalle de classe de hauteur non ordonné (souvent appelé « classe d'intervalle ») ne nécessite pas que les deux classes de hauteur soient ordonnées du plus bas au plus haut. Au contraire, ce type d'intervalle mesure en demi-tons l'intervalle le plus petit .

En raison de la symétrie, le plus petit intervalle d'un demi-ton entre deux classes de hauteur ne peut être qu'un entier compris entre 0 et 6. (d'où les sept « classes d'intervalles »). Les noms d'intervalles tonaux « seconde mineure » et « septième majeure » correspondent tous deux à la « classe d'intervalle 1 » par exemple, car les deux sont composés d'un demi-ton et l'ordre directionnel n'a pas d'importance lorsque les critères deviennent la sélection du plus petit intervalle.

De même, la « quarte augmentée » et la « quinte diminuée » correspondent toutes deux à la « classe d'intervalle 6 ». Il n'existe donc pas de « classe d'intervalle 7 », puisque compter cinq demi-tons à rebours peut décrire la quinte parfaite de manière plus parcimonieuse que compter sept demi-tons.

Une manière visuelle de déterminer un intervalle de classe de hauteur non ordonné est de placer les classes de hauteur sur un cadran d'horloge et de mesurer dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, selon la distance la plus petite.

En utilisant la notation entière et le modulo 12, l'intervalle de hauteur ordonné, ip , peut être défini, pour deux hauteurs x et y quelconques , comme :

et:

dans l'autre sens.

On peut également mesurer la distance entre deux hauteurs sans tenir compte de la direction avec l' intervalle de hauteur non ordonné , similaire à l'intervalle de la théorie tonale. Cela peut être défini comme :

L'intervalle entre les classes de hauteur peut être mesuré avec des intervalles de classes de hauteur ordonnés et non ordonnés. L'intervalle ordonné, également appelé intervalle dirigé , peut être considéré comme la mesure vers le haut, qui, puisque nous traitons de classes de hauteur, dépend de la hauteur choisie comme 0. Ainsi, l'intervalle de classe de hauteur ordonné, i ⟨ x , y ⟩ , peut être défini comme :

Les intervalles ascendants sont indiqués par une valeur positive et les intervalles descendants par une valeur négative.