Intersection plan-plan

En géométrie analytique , l' intersection de deux plans dans l'espace tridimensionnel est une ligne .

Formulation

La ligne d'intersection entre deux plans et où sont normalisés est donnée par ${\displaystyle \Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { boldsymbol {n}} _ {i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1} imes {\boldsymbol {n}}_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1} imes {\boldsymbol {n}}_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où

{\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Dérivation

Cela se trouve en remarquant que la ligne doit être perpendiculaire aux deux normales planes, et donc parallèle à leur produit vectoriel (ce produit vectoriel est nul si et seulement si les plans sont parallèles, et sont donc non sécants ou entièrement coïncidents). ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1} imes {\boldsymbol {n}}_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}\fois {\boldsymbol {n}}_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le reste de l'expression est obtenu en trouvant un point arbitraire sur la droite. Pour cela, considérons que tout point de l'espace peut s'écrire , puisque est une base . Nous souhaitons trouver un point qui soit sur les deux plans (c'est-à-dire sur leur intersection), donc insérons cette équation dans chacune des équations des plans pour obtenir deux équations simultanées qui peuvent être résolues pour et . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1} imes {\boldsymbol {n}}_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\fois {\boldsymbol {n}}_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1} imes {\boldsymbol {n}}_{2})\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\fois {\boldsymbol {n}}_{2})\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si nous supposons en outre que et sont orthonormés , alors le point le plus proche de l'origine sur la ligne d'intersection est . Si ce n'est pas le cas, il faut alors utiliser une procédure plus complexe. ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { boldsymbol {n}} _ {1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { boldsymbol {n}} _ {2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Angle dièdre

Étant donné deux plans sécants décrits par et , l' angle dièdre entre eux est défini comme étant l'angle entre leurs directions normales : ${\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>et</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>et</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>parce que</mi> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow> <msqrt> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> <mrow> <msqrt> <msubsup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=