Diagramme pôle-zéro

En mathématiques , en traitement du signal et en théorie du contrôle , un graphique pôle-zéro est une représentation graphique d'une fonction de transfert rationnelle dans le plan complexe qui permet de transmettre certaines propriétés du système telles que :

Un tracé pôle-zéro montre l'emplacement dans le plan complexe des pôles et des zéros de la fonction de transfert d'un système dynamique , tel qu'un contrôleur, un compensateur, un capteur, un égaliseur, un filtre ou un canal de communication. Par convention, les pôles du système sont indiqués dans le tracé par un X tandis que les zéros sont indiqués par un cercle ou un O.

Un tracé pôle-zéro est tracé dans le plan d'un domaine de fréquence complexe , qui peut représenter un système à temps continu ou à temps discret :

Les systèmes à temps continu utilisent la transformée de Laplace et sont tracés dans le plan s :
- Les composantes de fréquence réelles sont le long de son axe vertical (la ligne imaginaire où ) ${\displaystyle s{=}j\omega <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mrow> <mo>=</mo> </mrow> <mi>j</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s{=}j\oméga }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sigma {=}0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>σ</mi> <mrow> <mo>=</mo> </mrow> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma {=}0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Les systèmes à temps discret utilisent la transformée en Z et sont tracés dans le plan z :
- Les composantes de fréquence réelles sont le long de son cercle unité

Systèmes à temps continu

En général, une fonction de transfert rationnelle pour un système LTI à temps continu a la forme :

${\displaystyle H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>UN</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où

${\displaystyle B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\style d'affichage s}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle b_{m <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{m}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ^ième coefficient du polynôme numérateur, ${\displaystyle m <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle a_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ^ième coefficient du polynôme dénominateur. ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'un ou l'autre ou les deux peuvent être nuls, mais dans les systèmes réels, ce devrait être le cas ; sinon, le gain serait illimité aux hautes fréquences. ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M\leq N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>≤</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M\leq N}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pôles et zéros

les zéros du système sont les racines du polynôme numérateur : tel que ${\displaystyle s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>∣</mo> <mi>m</mi> <mo>∈</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mi>M</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s=\{\beta _{m}\mid m\dans 1,\ldots M\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B(s)|_{s=\beta _{m}}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B(s)|_{s=\beta _{m}}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
les pôles du système sont les racines du polynôme dénominateur : tel que ${\displaystyle s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mi>N</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s=\{\alpha _{n}\mid n\dans 1,\ldots N\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Région de convergence

La région de convergence (ROC) pour une fonction de transfert en temps continu donnée est un demi-plan ou une bande verticale, qui ne contient aucun pôle. En général, la ROC n'est pas unique et la ROC particulière dans un cas donné dépend du fait que le système est causal ou anti-causal.

Si le ROC inclut l' axe imaginaire , alors le système est stable à entrées limitées et sorties limitées (BIBO) .
Si le ROC s'étend vers la droite à partir du pôle avec la plus grande partie réelle (mais pas à l'infini), alors le système est causal.
Si le ROC s'étend vers la gauche à partir du pôle avec la plus petite partie réelle (mais pas à l'infini négatif), alors le système est anticausal.

Le ROC est généralement choisi pour inclure l'axe imaginaire car il est important pour la plupart des systèmes pratiques d'avoir une stabilité BIBO .

Exemple

${\displaystyle H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>25</mn> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>25</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ce système n'a pas de zéros (finis) et deux pôles : et ${\displaystyle s=\alpha _{1}=-3+4j <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s=\alpha _{1}=-3+4j}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s=\alpha _{2}=-3-4j <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s=\alpha _{2}=-3-4j}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le tracé pôle-zéro serait :

Diagramme Pz de l'exemple précédemment créé

Notez que ces deux pôles sont des conjugués complexes , ce qui est la condition nécessaire et suffisante pour avoir des coefficients à valeurs réelles dans l'équation différentielle représentant le système.

Systèmes à temps discret

En général, une fonction de transfert rationnelle pour un système LTI à temps discret a la forme :

${\displaystyle H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>Q</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>M</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où

${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle b_{m <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{m}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ^ième coefficient du polynôme numérateur, ${\displaystyle m <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle a_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ^ième coefficient du polynôme dénominateur. ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'un ou l'autre ou les deux peuvent être nuls. ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pôles et zéros

${\displaystyle z=\beta _{m <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=\beta _{m}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P(z)|_{z=\beta _{m}}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P(z)|_{z=\beta _{m}}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle z=\alpha _{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=\alpha _{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle Q (z) | _ {z = alpha _ {n}} = 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Région de convergence

La région de convergence (ROC) pour une fonction de transfert à temps discret donnée est un disque ou un anneau qui ne contient aucun pôle non annulé. En général, la ROC n'est pas unique et la ROC particulière dans un cas donné dépend du fait que le système est causal ou anti-causal.

Si le ROC inclut le cercle unité , alors le système est stable à entrée délimitée et sortie délimitée (BIBO) .
Si le ROC s'étend vers l'extérieur à partir du pôle ayant la plus grande magnitude (mais pas infinie), alors le système a une réponse impulsionnelle du côté droit. Si le ROC s'étend vers l'extérieur à partir du pôle ayant la plus grande magnitude et qu'il n'y a pas de pôle à l'infini, alors le système est causal.
Si le ROC s'étend vers l'intérieur à partir du pôle ayant la plus petite magnitude (non nulle), alors le système est anticausal.

Le ROC est généralement choisi pour inclure le cercle unité car il est important pour la plupart des systèmes pratiques d'avoir une stabilité BIBO .

Exemple

Si et sont complètement factorisés, leur solution peut être facilement tracée dans le plan z . Par exemple, étant donné la fonction de transfert suivante : ${\displaystyle P(z) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P(z)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q(z) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q(z)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le seul zéro (fini) est situé à : , et les deux pôles sont situés à : , où est l' unité imaginaire . ${\displaystyle z=-2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=-2}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle z=\pm {\frac {j}{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mrow> <mfrac> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=\pm {\frac {j}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle j <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle j}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le tracé pôle-zéro serait :