Polydisque

{\displaystyle D(z,r) </span referrerpolicy=

Si le disque ouvert de centre z et de rayon r dans le plan complexe est un disque ouvert, alors un polydisque ouvert est un ensemble de la forme suivante :

{\displaystyle D(z_{1},r_{1}) imes \dots imes D(z_{n},r_{n}). <semantics><mrow><mstyle><mi>D</mi><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>×</mo><mo>⋯</mo><mo>×</mo><mi>D</mi><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle D(z_{1},r_{1}) imes \dots imes D(z_{n},r_{n}).}</annotation></semantics></math></span><img src=

On peut l'écrire de manière équivalente comme

{\displaystyle \{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}:\vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},{\mbox{ for all }}k=1,\dots ,n\}. <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><mi>w</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>w</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>w</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>:</mo><mo>|</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>w</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>|</mo><mo><</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mrow><mstyle><mtext> pour tous </mtext></mstyle></mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>}</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n} :\vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},{\mbox{ pour tous }}k=1,\dots,n\}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Il ne faut pas confondre le polydisque avec la sphère ouverte dans C ⁿ , qui est définie comme

{\displaystyle \{w\in \mathbf {C} ^{n}:\lVert z-w Vert <r\}. <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><mi>w</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>:</mo><mo>‖</mo><mi>z</mi><mo>−</mo><mi>w</mi><mo>‖</mo><mo><</mo><mi>r</mi><mo>}</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{w\in \mathbf {C} ^{n}:\lVert zw Vert <r\}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Ici, la norme est la distance euclidienne dans C ⁿ .

Quand $1 n > 1$ 1 Les boules ouvertes et les polydisques ouverts ne sont pas biholomorphes équivalents, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'application biholomorphe entre les deux. Ceci a été démontré par Poincaré en 1907 en montrant que leurs groupes d'automorphismes ont des dimensions différentes en tant que groupes de Lie .

Quand ${\displaystyle n=2 <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n=2}</annotation></semantics></math></span><img src=$ bidisque est parfois utilisé.

Un polydisque est un exemple de domaine de Reinhardt logarithmiquement convexe .

0-8218-2724-3.

John P. D'Angelo, D'Angelo P. D'Angelo (6 janvier 1993). Plusieurs variables complexes et la géométrie des hypersurfaces réelles . CRC Press. ISBN0-8493-8272-6.

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