Application polynomiale

En algèbre , une application polynomiale ou une application polynomiale entre des espaces vectoriels sur un corps infini k est un polynôme en fonctionnelles linéaires à coefficients dans k ; c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire comme ${\displaystyle P:V o W <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>:</mo> <mi>V</mi> <mo>→</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P:V\à W}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle P(v)=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}}\lambda _{i_{1}}(v)\cdots \lambda _{i_{n}}(v)w_{i_{1},\dots ,i_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P(v)=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}}\lambda _{i_{1}}(v)\cdots \lambda _{i_{n}}(v)w_{i_{1},\dots ,i_{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où les sont des fonctionnelles linéaires et les sont des vecteurs dans W . Par exemple, si , alors une application polynomiale peut être exprimée comme où les sont des fonctions polynomiales (à valeurs scalaires) sur V . (La définition abstraite a l'avantage que l'application est manifestement libre d'un choix de base.) ${\displaystyle \lambda _{i_{j}}:V o k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>V</mi> <mo>→</mo> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle lambda _ {i_ {j}}: V to k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle w_{i_{1},\dots ,i_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle w_ {i_ {1}, dots, i_ {n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle W=k^{m <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle W=k^{m}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P(v)=(P_{1}(v),\dots ,P_{m}(v)) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle P (v) = (P_ {1} (v), dots, P_ {m} (v))}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Lorsque V , W sont des espaces vectoriels de dimension finie et sont considérés comme des variétés algébriques , alors une application polynomiale est précisément un morphisme de variétés algébriques .

Une question fondamentale en suspens concernant les applications polynomiales est la conjecture jacobine , qui concerne la suffisance d'une application polynomiale pour être inversible.