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Procédé polytropique

c = {\displaystyle c=} Compressibilité β = − {\displaystyle \beta =-} Dilatation thermique α = {\displaystyle \alpha =} Un processus polytropique est un processus thermodynamiqu...

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{\displaystyle c= <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c=}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

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{\displaystyle \alpha = <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha =}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Un processus polytropique est un processus thermodynamique qui obéit à la relation : ${\displaystyle pV^{n}=C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle pV^{n}=C}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où p est la pression , V le volume , n l' indice polytropique et C une constante. L'équation du processus polytropique décrit les processus de dilatation et de compression qui incluent le transfert de chaleur.

Cas particuliers

Certaines valeurs spécifiques de n correspondent à des cas particuliers :

${\displaystyle n=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle n=+\infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=+\infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$

De plus, lorsque la loi des gaz parfaits s'applique :

${\displaystyle n=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle n=\gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=\gamma }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Où est le rapport entre la capacité thermique à pression constante ( ) et la capacité thermique à volume constant ( ). ${\displaystyle \gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C_{P <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C_{P}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C_{V <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C_{V}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Equivalence entre le coefficient polytropique et le rapport des transferts d'énergie

Les processus polytropiques se comportent différemment selon les indices polytropiques. Un processus polytropique peut générer d'autres processus thermodynamiques de base.

Pour un gaz idéal dans un système fermé subissant un processus lent avec des changements négligeables d' énergie cinétique et potentielle, le processus est polytropique, tel que où C est une constante, , , et avec le coefficient polytropique . ${\displaystyle pv^{(1-\gamma )K+\gamma }=C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>γ</mi> <mo>)</mo> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle pv^{(1-\gamma )K+\gamma }=C}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle K={\frac {\delta q}{\delta w <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>δ</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mi>w</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K={\frac {\delta q}{\delta w}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n={(1-\gamma )K+\gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>γ</mi> <mo>)</mo> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n={(1-\gamma )K+\gamma }}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Relation aux processus idéaux

Pour certaines valeurs de l'indice polytropique, le processus sera synonyme d'autres processus courants. Quelques exemples des effets de la variation des valeurs de l'indice sont donnés dans le tableau suivant.

Lorsque l'indice n est compris entre deux des valeurs précédentes (0, 1, γ ou ∞), cela signifie que la courbe polytropique coupera (sera délimitée par ) les courbes des deux indices limitatifs.

Pour un gaz idéal, 1 < γ < 5/3, puisque par la relation de Mayer ${\displaystyle \gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}={\frac {c_{v}+R}{c_{v}}}=1+{\frac {R}{c_{v}}}={\frac {c_{p}}{c_{p}-R}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>R</mi> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mi>R</mi> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}={\frac {c_{v}+R}{c_{v}}}=1+{\frac {R}{c_{v}}}={\frac {c_{p}}{c_{p}-R}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Autre

Une solution à l’ équation de Lane-Emden utilisant un fluide polytrope est appelée polytrope .